证明：任何一个有理数都能写成 3 个有理数的立方和

malingxiao1984

任何一个有理数都能写成3个有理数的立方和

malingxiao1984

右边三项还是有理数，还可以继续分解成3个有理数的立方和，

所以最终的结论就是：

任何一个有理数，都可以分解成2n+1（n≥1）个有理数的立方和

稍微再思考一下，就会得到更强的结论

任何一个有理数，都可以分解成n（n≥3）个有理数的立方和

malingxiao1984

验证：

elim

非常好！ 赞一个！！！

malingxiao1984

这个定理先是Ryley 在1825年发现, Richmond 在1930年又重新证明，之后Manin 给了这类问题一个一般的回答，通过在三次曲面上的类似三次曲线的乘法结构（不是群）给了一个几何的证明。

Ryley和Richmond的暴力方法就先放一边，Manin书里介绍的思路大致如下：



1. 三维射影空间P^3 上的曲面x^3+y^3+z^3=a*w^3上有一个有理点(1, -1, 0, 0)。取P^3中另一个有理点，连接两点得到一条直线，它与曲面的交点除(1, -1, 0, 0)外，还有两个交点X, Y，这两个交点一般定义在一个二次域Q(\sqrt{d})上，而且两个点的坐标在二次域Q(\sqrt{d})上互相共轭；

2. 过X, Y分别作切平面交曲面于曲线C_X,C_Y。曲线是有理曲线，过X的曲线C_X定义在二次域Q(\sqrt{d})上，它双有理等价Q(\sqrt{d})上的射影直线。取C_X上坐标均属于Q(\sqrt{d})的点P，可以知道这个点关于Q(\sqrt{d})的共轭P'正落在C_Y上（证明留作练习）；

3. 联结PP'交曲面于第三点P''，这个点的坐标是有理数。照这个方法，可以生成曲面上很多的有理点。

里面关键点的证明需要大家自己研究资料，我已经看的头大。

malingxiao1984

永远 发表于 2018-8-20 11:37
看起来很复杂，貌似我搞不定，elim老师继续研究，我一边围观

我也搞不定，就是觉得定理本身很有意思，搬运以下

malingxiao1984

永远 发表于 2018-8-20 11:27
直接把多项式展开死算得了，看结果等不等于a

我验算了1个小时……最后还是得借助wolframalpha，哈哈

luyuanhong

楼上 malingxiao1984 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

shuxuestar

  这个就数分钟写算式计算机验证搞定  证起来一定没那麼容易 估计作者花了几年.............

malingxiao1984

永远 发表于 2018-8-20 11:49
我突然想起拉马努金的整数分拆，貌似有这种操作，个人见解，仅供参考

可能暴力方法的思路就是整数拆分，但是Manin的方法肯定属于代数几何范畴了，跟椭圆曲线的群结构类似，不过已经上了一个维度，利用了三次曲面的乘法结构。