平面上有五个点，其中任何三点都不共线，证明：其中必有四个点是凸四边形的顶点

ataorj

多谢陆老师，我没注意到"两点必在外"，汗。。。

elim

我最初的解有疏忽之处和打字错误。谢谢陆老师和ataorj:

红树

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ataorj

我解题几乎从没没搜过网络，刚才想这个问题可能网上有答案，结果'都'较差不提。
但是有个特别精彩的解答，介绍给大家。
七夕特献：数学家们的爱情故事
[请自行删除-]
h-ttp-s://m.guokr.com/article/57837
最后一个故事讲到了本主题，解答非常精彩
塞凯赖什夫妇的故事
1933 年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（George Szekeres）还只有 22 岁。那时，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什（Paul Erdős）大神。不过当时，埃尔德什只有 20 岁。
在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩（Esther Klein）的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

平面上五个点的位置有三种情况
众人大呼精彩。之后，埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花，两人越走越近，最终在 1937 年 6 月 13 日结了婚。
对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为 f(4) = 5 。利用一些稍显复杂的方法，我们可以证明 f(5) 等于 9 。2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证明了 f(6) = 17。对于更大的 n，f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中。
不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。

ataorj

她这个证明隐含了是以
这五个点必存在凸包为前提的，
这哪里有证明？

ataorj

平面上n(>2)个点，任意三点不共线做图能明白这n点必存在凸包：
1 做一条射线MN并确保这n点在MN的同一侧，
2 以端点M为心顺时针转MN直到碰到一个点A或两个点[两个点是因为M跟它们共线之故]，为简化描述，我们默认为你已经避免或微调使得不会刚开始一下子就碰到两个点。A就是第一个凸点。
3 沿当前MN方向[是射线方向，不是它的旋转方向]移动MN，使得M和A重合，
4 循环步骤2和3，依次得到凸点B，C，D，。。。并顺次连接它们，直到再次得到A并连接它
分析，
1) 必然会再次碰到A以完成闭合，
2)因为n>2且任意三点不共线，所以
最少三个凸点，存在凸包是必然的

王守恩

红树 发表于 2019-1-23 16:10
，，，，，，，，，，，，，，

3 个点 A,B,C 可以组成三角形ABC，三角形ABC有 3 条边 a,b,c
3 条边 a,b,c  可以把整个平面分成 7 个区域，其中：
A,B,C 是角区域，a,b,c 是边区域，还有1个区域在三角形 ABC 内部
第 4 个点 D 的下落有 7 种可能。
1，第4个点D落在a区，则ABCD四个点就是凸四边形的顶点
2，第4个点D落在b区，则ABCD四个点就是凸四边形的顶点
3，第4个点D落在c区，则ABCD四个点就是凸四边形的顶点
4，第4个点D落在三角形ABC内部，
5，第4个点D落在A区，则点A必在三角形BCD内部，
6，第4个点D落在B区，则点B必在三角形ACD内部，
7，第4个点D落在C区，则点C必在三角形ABD内部，

对 4,5,6,7 我们作统一讨论：三角形ABC内部有一个点D，
点D可以把三角形ABC分成 Ab,Ac,Ba,Bc,Ca,Cb 6个区域
第 5 个点 E 的下落有 6 种可能。
1，第5个点E落在Ab区，则ABDE四个点就是凸四边形的顶点
2，第5个点E落在Ac区，则ACDE四个点就是凸四边形的顶点
3，第5个点E落在Ba区，则ABDE四个点就是凸四边形的顶点
4，第5个点E落在Bc区，则BCDE四个点就是凸四边形的顶点
5，第5个点E落在Ca区，则ACDE四个点就是凸四边形的顶点
6，第5个点E落在Cb区，则BCDE四个点就是凸四边形的顶点

elim

ataorj 发表于 2019-1-23 19:23
她这个证明隐含了是以
这五个点必存在凸包为前提的，
这哪里有证明？

简单：
1）存在含这五点的凸集。
2）所有含这五点的凸集的交集还是含这五点的凸集。这个交集就是凸包。

ataorj

凸集凸包这概念和定义我浏览过了的，当时感觉繁杂或定义不很明确就没仔细去理解，我再找找权威的定义去看看。。。

ataorj

刚才看了百度百科的凸集词条，其中含有凸包内容，我知识不够感觉复杂难理解。

我仍然以前文中的这段话理解凸包，这个含义很简单明确：
于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。。。