1637年,数学家P. D. Fermat在阅读丢番图的《算术》一书时作出这样一个断言:方程 xn + yn = zn (n > 2) 不存在非零整数解。这个断言被Fermat写在《算术》的页边上。这位幽默的天才还在断言旁附加了一个评注:“我对该命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下”。Fermat是否真的能够证明他的断言,我们已经不得而知,而他留下的这个轻描淡写的猜想,不仅推动了十九世纪代数数论的发展,而且为数学史写下了传奇的一页。为了寻求这个猜想的答案,数学家不断引入新的概念、提出新的理论、发展新的方法,取得了大量研究成果。譬如,E. E. Kummer引进了理想数的概念并创立了Kummer理论,S. Germain定义了Germain素数,L. J. Mordell提出了Mordell猜想等等,他们的工作夯实了现代代数数论的理论基础。从L. Euler,A.-M. Legendre,P. G. L. Dirichlet等数学大家对n取特殊值时的证明,到现代数学家使用计算机对数以万计的n取值进行验证,人们证明Fermat猜想的步伐从未停歇,但这个过程漫长而又艰辛。十几代数学家前赴后继的尝试都没能寻得最终答案,很多人对此沮丧不已却又心存幻想。当下的数学工具是否还能解决这个难题?Fermat猜想的证明也被吉尼斯世界纪录列为“世界上最难的数学问题”。
从一元到多元、从低次到高次、从单个方程到方程组,方程求解的理论不断扩充、发展、完善,其应用范围越来越广,它们已经成为众多数学和其它科学分支的理论基础和基本工具。与一元高次方程求解问题一样,多元多项式方程组的求解也是一个经典的数学问题。最常见的多元多项式方程组是形式简单、应用广泛的线性方程组,其求解方法很早就被深入研究。比较完整的方法见诸于我国古代数学名著《九章算术》,称为“方程术”。三国时期数学家刘徽为其作注时给出的解释是:“令少行减多行,反复相减,则头位必先尽”。其实质相当于对方程组的增广矩阵进行初等变换从而消去未知变元的方法,也即19世纪由J. C. F. Gauss所提出的现在广为人知的Gauss消去法。Gauss消去法的思想是将多元线性方程组转化成下三角形式,使得从上到下每个方程中变元的个数依次减少。于是线性方程组的求解问题可以转化为一元线性方程的求解问题。在西方,线性方程组的研究是在17世纪后期由G. W. Leibniz开创的,随后É. Bézout,A.-T. Vandermonde等数学家对线性方程组解的结构及相关理论进行了系统研究。
19世纪末20世纪初,消去理论作为构造性代数几何的基本工具在欧洲发展活跃,出现了形式多样的结式和判别式。最常用的求解高次方程组的消去法就是基于结式计算的。结式的构造源自18世纪法国数学家É. Bézout,其理论后经J. J. Sylvester,A. L. Dixon,F. S. Macaulay等英国数学家发展完善,成为经典的消去方法。这种方法的主要思想是通过构造各种形式的结式矩阵,将多项式方程组的解投影到一元多项式方程的解。B. L. van der Waerden 在其《现代代数学》的早期版本中对结式消去理论和方法有较为详细的论述。此后,消去理论受到冷遇,被视为过时的理论,在《现代代数学》的新版中 “消去理论”一章也被删除。
特征列方法是我国数学家吴文俊在上世纪70—80年代提出的、适用于多项式系统和微分多项式系统的消元与分解方法,其理论基础是美国数学家J. F. Ritt有关微分代数的工作和古代方程术中的算法思想。以吴-Ritt命名的特征列方法可以看作是高斯消去法对非线性情形的推广,所使用的主要运算是高次多项式之间的伪除。该方法后经王东明、高小山等学者发展完善,已作为机械化数学特别是代数计算和几何推理的基本方法写入《计算机代数》和《多项式代数》等研究生教材。
初等代数与几何的判定问题最早由A. Tarski解决。该问题可以归结为实闭域上的量词消去问题。美国数学家G. E. Collins提出的柱形代数分解方法可以用来完整地解决这一问题,并能为含有多项式等式和不等式的半代数系统的求解和实解分类提供有效工具。柱形代数分解方法的基本思想是通过投影和提升将实空间中的任意半代数集分解为有限多个由同一组多项式定义的、互不相交的半代数集,而在每个半代数集上定义多项式的符号保持不变,再通过选取半代数集上的样本点确定定义多项式在样本点的符号。量词消去、半代数系统求解和实解分类等问题都可以通过柱形代数分解获得解决。
图3:吴文俊(1919—2017,左)和George E. Collins(1928—2017,右)