数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 2434|回复: 1

方程术

[复制链接]
发表于 2018-4-14 23:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-4-14 23:19 编辑

方程术(上)

上升下降 左右进退 互通变化 乘除往来 用假象真 以虚问实 错综正负 分成四式 必以寄之 剔之 余筹易位 横冲直撞 精而不杂 自然而然 消而和会 以成开方之式也
——《四元玉鉴》序言

所谓方程术,就是方程求解的方法和艺术。方程是最最基本的数学表达式,可以用来描述各种已知与未知之间隐含着的数量关系。方程一词最早作为章名出现在公元前后成书的《九章算术》第八章。《九章算术》一书由刘徽在公元263年作注,是影响最为深远的中国古代数学典籍,其中对方程的论述尤为系统。方程的英文equation源自拉丁语,意思是含有未知数的等式。将方程限定的未知变元的量,即方程的解,通过巧妙的化简变换、推理演算,用显而易懂的形式表达出来,这一过程即解方程。解方程不仅需要行之有效的方法,而且还要有互通变化、用假象真、以虚问实、错综正负的技巧,因而是一门艺术。比中国的方程术更早一些,古埃及人3600年前写在草纸上的数学问题,也涉及了含未知数的方程。从刀耕火种的古代到科学技术日新月异的今天,人们对方程和方程组求解的热情依然未减。这里我们从符号计算的角度,为读者讲讲方程术的故事。

我们的故事从一元线性方程ax+b=0讲起,它的解x=-b/a人人皆知,而一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式,人们也耳熟能详。事实上,用配方法求解二次方程的思想早在巴比伦时代就已为人所知。在《九章算术》勾股一章中,配方法也被用来求解具体方程。可是,三次方程如何求解呢?这个问题的研究在很长一段时间内都没有任何进展。甚至到了1494年还有数学家认为一般三次方程不可能用根式求解。1535年,三次方程的求根公式才第一次出现在J. Cardan的名著《大术》 (Ars Magna)中。据说Cardan的方法是基于另一位数学家N. Tartaglia的研究所得。当时Tartaglia宣称自己能求解一般三次方程,并因此赢得了一系列的学术挑战。声名大噪的Tartaglia引起了Cardan的注意。在Cardan再三恳求甚至发誓对此保密之后,Tartaglia将自己的方法写在一首晦涩的25行诗文中透露给了Cardan。经过仔细的研究,Cardan破译了藏在诗中的秘密并将三次方程的根式求解方法发表在他的名著《大术》中。《大术》中还给出了一元四次方程的求根公式,它是由Cardan的学生L. Ferrari首先发现的。有兴趣的读者不妨自己尝试一下如何导出三次和四次方程的求根公式。

三次和四次方程的求解问题在数学舞台上落下帷幕之后,如何用根式求解五次方程很快变得扑朔迷离。在接下来的两个多世纪中,很多杰出的数学家尝试过不同的方法,试图揭开谜团,可是用根式求解一般五次方程的企图都失败了。数学家们开始质疑,五次以上的方程到底有没有根式解?这个问题在两个天才数学家登上历史舞台之后才得到回答。

1826年,24岁的挪威数学家N.H. Abel用反证法证明了一般五次方程是不可能根式求解的。Abel这位伟大的数学天才1802年生于一个贫穷的牧师家庭,他的一生也都与贫穷为伴。21岁时,他发现一般五次方程无法根式求解,但是由于他提出的群论太超前,当时无人问津。Abel自筹经费印刷了他的论文。为了节省成本,他将文章压缩成六页,寄给了德国大数学家 J.C.F. Gauss,却没有得到任何回应。Abel虽然成就极高,但一生都不得志,无法获得教席专心从事研究。1829年,Abel因为过度贫穷染上肺结核离世,那一年他才27岁。Abel去世两天之后,来自柏林大学的聘书却寄到了他的家中。

在Abel之后,人们已经知道五次以上的一般方程不可能用根式求解,但是有很多特殊的方程,譬如x5=1,它们是可以根式求解的。到底哪些方程可以根式求解,哪些方程不可能根式求解呢?判定是否可以根式求解的依据又是什么?

回答这些问题的是另一位天才数学家E. Galois。Galois生于1811年,15岁时进入巴黎一所著名的公立中学。他对别的科目都不感兴趣,唯独对数学情有独钟。Galois深入研读了J.-L. Lagrange,J.C.F. Gauss,A.-L. Cauchy和N.H. Abel的著作,并于1829年在他不足18岁时将其研究成果写成了两篇论文呈送到法国科学院。这两篇文章由Cauchy审稿,但却石沉大海,没有下文。1830年,Galois又提交了另一篇精心写成的论文;这一次论文被送到了J. Fourier那里,而之后不久Fourier就去世了,这篇文章也下落不明。1831年,在S.D. Poisson的提议下,Galois又给法国科学院呈送了一篇新写的文章《关于用根式解方程的可解性条件》。可惜的是,该文的审稿人Poisson和S.F. Lacroix尽了最大努力但仍无法理解Galois的证明,于是文章又被退了回来。Galois一生叛逆不羁、曲折坎坷,他两次投考法国综合理工都名落孙山。传说他对考官给的题目毫无兴趣,甚至将擦黑板的抹布扔到了考官的脑袋上。看似合理一些的解释是,Galois在逻辑推理中跳跃太多,使得水平不高的考官跟不上他的思路。Galois曾两次入狱,最后在1832年的一场几近自杀的决斗中不幸身亡,年仅21岁。自知必死的Galois在他决斗前三夜狂笔疾书,将他所有数学成果都记录下来,并在笔记旁多次绝望地写下了潦草的字迹“我没有时间了”。Galois去世之后,他的文章被法国数学家J. Liouville整理修订后发表在《数学杂志》上。至此一元高次方程的根式可解性问题才画上了完美的句号。


Galois和他的手稿

因为他们的理论都引入了“群”这一开创性的概念,Galois和Abel被并称为现代群论的创始人。Galois完整地解决了一元多项式方程的根式求解问题,并由此建立了抽象代数的主要分支Galois理论。Galois理论的主要思想是通过联系域扩张与Galois群,将域的问题转化为群的问题;后者的研究相对容易。Galois基本定理表明,一般或特殊多项式根式可解当且仅当其对应的Galois群是可解的。简单地说,有理数域上的每个方程都有其对应的Galois群,它是方程根的置换群或其子群。因此一个多项式方程是否有根式解的问题就转化为该方程根的置换群或其某个子群是否可解的问题,而置换群及其子群的可解性有比较一般的判定方法。

Galois理论的发现,展示了数学天才强大的创造力和想象力,它是人类数学史上浓墨重彩的一笔。令人惊叹的是,一元五次方程的根式可解性,这样一个看上去如此简单而易于理解的问题,其解答却是如此丰富而深刻,为近代数学的发展树立了永恒的丰碑。

既然高次方程的解不一定能用根式表示,那么如何表示方程的解呢?首先我们可以用数值方法求出方程的近似解。这样的数值方法有牛顿迭代法、连续同伦法等,它们的效率相对较高,但也有各自的弱点。从符号计算的角度来说,如果我们希望精确地表示多项式方程的实根,那么可以使用实根隔离的方法。其思想是求得实数轴上的一系列不相交的有理区间,使得所给多项式的每个实根都包含在某个区间内,而且每个区间恰好包含一个实根。由于区间的长度可以任意缩小,我们可以用这些精确的区间来表示该多项式方程的全部实根。比较经典的实根隔离算法主要基于Sturm定理和Descartes变号法则,后者是已知的最快算法。

一个多元多项式方程总有无穷多个复解,那么如何判断它是否有实解、是否有有理数解呢?这也是很不简单的问题,前者涉及到多元多项式的正定性判定问题,而后者是Diophantine方程解的存在性判定问题。由A. Wiles于1995年证明的Fermat大定理就是断言方程xn+yn=zn在n>2时不存在非零整数解。围绕Fermat大定理,这个曾经困扰了数学家358年的著名猜想,有什么样的故事呢?关于方程求解,还有哪些有趣的问题呢?请读者关注本文的后半部分:方程术(续)。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
 楼主| 发表于 2018-4-14 23:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-4-14 23:37 编辑

方程术(下)

多项式方程求解是代数学的中心问题,也是代数学发展的动力和源泉。千百年来无数数学家都研究过这个问题。著名的Fermat大定理就是一个有关不定方程不存在非零整数解的断言,它曾困扰数学家358年之久。就像一元五次方程的可解性问题一样,这个断言本身也非常简明易懂,但它的证明却让三个世纪以来的数学大师们夜不能寐、魂牵梦萦。

1637年,数学家P. D. Fermat在阅读丢番图的《算术》一书时作出这样一个断言:方程 xn + yn = zn (n > 2) 不存在非零整数解。这个断言被Fermat写在《算术》的页边上。这位幽默的天才还在断言旁附加了一个评注:“我对该命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下”。Fermat是否真的能够证明他的断言,我们已经不得而知,而他留下的这个轻描淡写的猜想,不仅推动了十九世纪代数数论的发展,而且为数学史写下了传奇的一页。为了寻求这个猜想的答案,数学家不断引入新的概念、提出新的理论、发展新的方法,取得了大量研究成果。譬如,E. E. Kummer引进了理想数的概念并创立了Kummer理论,S. Germain定义了Germain素数,L. J. Mordell提出了Mordell猜想等等,他们的工作夯实了现代代数数论的理论基础。从L. Euler,A.-M. Legendre,P. G. L. Dirichlet等数学大家对n取特殊值时的证明,到现代数学家使用计算机对数以万计的n取值进行验证,人们证明Fermat猜想的步伐从未停歇,但这个过程漫长而又艰辛。十几代数学家前赴后继的尝试都没能寻得最终答案,很多人对此沮丧不已却又心存幻想。当下的数学工具是否还能解决这个难题?Fermat猜想的证明也被吉尼斯世界纪录列为“世界上最难的数学问题”。

奇迹在1994年发生了,英国数学家A. Wiles最终给出了Fermat大定理的证明。早在童年时期Wiles就开始追求Fermat猜想的答案。后来,他彻底放弃了对其他问题的研究,将自己关在书房里,皓首穷经、潜心研读,探寻着证明Fermat猜想的思路。经过七年长期不懈的努力,Wiles的付出终于有了回报:1993年,他完成了Fermat猜想的证明并在一个学术会议上宣布他的结果。Wiles的证明震撼了数学界,但在论文的评审过程中,专家却发现了一个极为严重的错误。在几近绝望的补救之后,Wiles于1994年又将他的最终证明公布于世。Wiles的两篇证明论文共有130页,是历史上被核查得最为彻底的数学稿件,最终于次年发表在《数学年刊》上。至此Fermat猜想变成了定理,Wiles也凭此获得了2016年的阿贝尔奖。


图1:丢番图《算术》书页和Andrew Wiles(1953—)

从一元到多元、从低次到高次、从单个方程到方程组,方程求解的理论不断扩充、发展、完善,其应用范围越来越广,它们已经成为众多数学和其它科学分支的理论基础和基本工具。与一元高次方程求解问题一样,多元多项式方程组的求解也是一个经典的数学问题。最常见的多元多项式方程组是形式简单、应用广泛的线性方程组,其求解方法很早就被深入研究。比较完整的方法见诸于我国古代数学名著《九章算术》,称为“方程术”。三国时期数学家刘徽为其作注时给出的解释是:“令少行减多行,反复相减,则头位必先尽”。其实质相当于对方程组的增广矩阵进行初等变换从而消去未知变元的方法,也即19世纪由J. C. F. Gauss所提出的现在广为人知的Gauss消去法。Gauss消去法的思想是将多元线性方程组转化成下三角形式,使得从上到下每个方程中变元的个数依次减少。于是线性方程组的求解问题可以转化为一元线性方程的求解问题。在西方,线性方程组的研究是在17世纪后期由G. W. Leibniz开创的,随后É. Bézout,A.-T. Vandermonde等数学家对线性方程组解的结构及相关理论进行了系统研究。

Gauss消去法完全解决了线性多项式方程组的求解问题,该方法可以推广到高次多项式方程组,其核心思想是将方程组的求解问题转化为一元方程的求解问题。本文开始引用的那段充满哲思的玄论就是对中国元代数学名著《四元玉鉴》中用消去法求解四元方程组的一个概括性描述。《四元玉鉴》中只考虑求解四个未知元是由于受当时计算工具(算筹和算板)的限制,实际上书中给出的解方程的思想和方法完全可以扩展到任意多个变元的情形。西方学者还利用Hermite正规形式和Smith正规形式等将这类方法推广,用于研究一般的线性不定方程以及阿贝尔群。

通过消去多项式系统中的某些变元,将系统化简至易于处理的特殊形式是求解多项式系统的主要思路。基于这种思路建立发展起来的消去理论和方法已经成为许多与解方程有关的数学分支的基础工具。现代数学更是离不开方程求解。有关超越函数方程、差分方程、微分和积分方程的研究已经并将继续作为基础和应用数学的主要分支向前发展。


图2:《四元玉鉴》影像

19世纪末20世纪初,消去理论作为构造性代数几何的基本工具在欧洲发展活跃,出现了形式多样的结式和判别式。最常用的求解高次方程组的消去法就是基于结式计算的。结式的构造源自18世纪法国数学家É. Bézout,其理论后经J. J. Sylvester,A. L. Dixon,F. S. Macaulay等英国数学家发展完善,成为经典的消去方法。这种方法的主要思想是通过构造各种形式的结式矩阵,将多项式方程组的解投影到一元多项式方程的解。B. L. van der Waerden 在其《现代代数学》的早期版本中对结式消去理论和方法有较为详细的论述。此后,消去理论受到冷遇,被视为过时的理论,在《现代代数学》的新版中 “消去理论”一章也被删除。

随着计算技术的发展,或者更确切地说,随着计算机代数这门交叉学科的兴起,消去理论得以重新展示其威力,特别在方程求解中发挥其专长。现代消去理论和方法相继提出并得到空前发展。基于特征列、Gröbner基和柱形代数分解的消去方法已成为计算机代数领域的三大核心方法。

特征列方法是我国数学家吴文俊在上世纪70—80年代提出的、适用于多项式系统和微分多项式系统的消元与分解方法,其理论基础是美国数学家J. F. Ritt有关微分代数的工作和古代方程术中的算法思想。以吴-Ritt命名的特征列方法可以看作是高斯消去法对非线性情形的推广,所使用的主要运算是高次多项式之间的伪除。该方法后经王东明、高小山等学者发展完善,已作为机械化数学特别是代数计算和几何推理的基本方法写入《计算机代数》和《多项式代数》等研究生教材。

1965年,奥地利数学家B. Buchberger在他的博士论文中提出了以他导师的姓命名的Gröbner基方法。该方法可以在多项式组构成的理想中找到一组基,而这组基中的某些多项式构成三角列,因此可以通过计算Gröbner基将多项式方程组的求解问题转化为一元多项式方程的求解问题。在20余部著作和数千篇论文中得到深入研究和发展,Buchberger的Gröbner基方法理论优美、应用高效,是研究多项式理想的基本工具,也是支撑计算机代数系统的基石。

初等代数与几何的判定问题最早由A. Tarski解决。该问题可以归结为实闭域上的量词消去问题。美国数学家G. E. Collins提出的柱形代数分解方法可以用来完整地解决这一问题,并能为含有多项式等式和不等式的半代数系统的求解和实解分类提供有效工具。柱形代数分解方法的基本思想是通过投影和提升将实空间中的任意半代数集分解为有限多个由同一组多项式定义的、互不相交的半代数集,而在每个半代数集上定义多项式的符号保持不变,再通过选取半代数集上的样本点确定定义多项式在样本点的符号。量词消去、半代数系统求解和实解分类等问题都可以通过柱形代数分解获得解决。


图3:吴文俊(1919—2017,左)和George E. Collins(1928—2017,右)


图4:Bruno Buchberger(1942—)

现代消去理论和方法不仅是方程求解的计算工具,也是构造性交换代数与代数几何的算法基础。它们在机器人、计算机辅助设计、密码攻击、机器证明、知识发现等诸多科学技术领域有广泛应用。从3600年前古埃及纸草文献中的数学到上世纪末刚被解决的Fermat大定理,在不同的时代,方程术都被赋予不同的内涵,但人们对方程求解的痴迷却始终如一,方程的艺术魅力无限,不曾因时光流逝而悄然失色。

横看成岭侧成峰,远近高低各不同;

欲解方程真面目,求源算术九章中。

阿狗与方程相依为伴,为方程术美颜添色,紧随方程求解者奋力前行、攀越奇峰峻岭,领略山中之无限风光!

(本文经王东明教授审阅,文中部分内容参考了M. Kline的《Mathematical Thought From Ancient to Modern Times》,冯承天的《从一元一次方程到伽罗瓦定理》和S. Singh的《Fermat’s Last Theorem》等著作;图片均来自网络)

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-19 17:04 , Processed in 0.095703 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表