已知 AB=AC ，D,E 分别在 AB,BC 延长线上，DB/DC=CE/AE=1/2 ，求证：ΔBDC～ΔACE

FGNBGHJUOI

FGNBGHJUOI 发表于 2021-10-24 18:48
好题，收藏了

可以把题目抄下来，记在小本子上，这也算是收藏了呀

denglongshan

\(因为DC/DB=EA/EC,设\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=u{,}\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}}=uv{,}\mid v\mid=1，得，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\frac{\left( u-1\right)\overrightarrow{DB}}{u}{,}
\)\(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{EC}}=\frac{uv-1}{uv}，\)
\(因为\overrightarrow{DB}到\overrightarrow{BC}的有向角与\overrightarrow{AE}到\overrightarrow{CE}有向角相等，所以\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DB}}/\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{EC}}为一实数，即\frac{uv-1}{v(u-1)}=实数，\)\(取共轭得到\frac{uv-1}{v(u-1)}=\frac{\overline{u}\overline{v}-1}{\overline{v}(\overline{u}-1)},\)
解方程得\(v=1，v=-\frac{\overline{u}-1}{u-1}\)
显然，v=1时，结论成立。由
\(v=-\frac{\overline{u}-1}{u-1}=-\frac{\overline{(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}})-1}{\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}-1}=- \frac{\overline( {\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DC}}})}{\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DC}}}\)
\[标记有向角如图，上式等价于\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}}=uv=ue^{i\left( -\pi+2x+y\right)},即图中的E'点是以AC为轴，翻折EA与BC的交点\]

FGNBGHJUOI

FGNBGHJUOI 发表于 2021-10-24 21:25
可以把题目抄下来，记在小本子上，这也算是收藏了呀

我是这样收藏的

denglongshan

王守恩 发表于 2019-11-24 19:06
再往前走一走，在 DC 上找一点 F，使 FD = 3FC，如何证明：∠AFE = 90°？

设等腰三角形ABC的底角为 ...

在你的发现基础上，根据计算结果的再发现。

denglongshan

denglongshan 发表于 2021-10-24 22:02
\(因为DC/DB=EA/EC,设\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=u{,}\frac{\overrightarrow{EA}} ...

把\(\overline{v}=\frac{1}{v}\)带回前面的方程中，手工计算非常容易，分析另外一个解有些费力，由于有延长线上限制条件，所以v=1，但是由于有两个解，取消限制条件，有两对相似三角形，把另外一对三角形加上去，应该还有更丰富的结论，把D放在实轴，再顺序构造C、D和E，应用你前面的方法也可以去除根号。