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上下班不淋雨的概率

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发表于 2020-1-15 20:00 | 显示全部楼层 |阅读模式


    你在一个小镇居住和工作。这个小镇早上的降雨概率是50%,傍晚是40%。你是步行上下班的,因此总会在下雨时带着一把伞出行,如果不下雨,就不带伞。 某个周日下午的情况是,你在家里有两把伞,在公司有一把伞。请问在接下来5个工作日内,你在上下班途中不被淋雨的概率是多少?
发表于 2020-1-22 22:55 | 显示全部楼层
以下,伞分布的状态用记号[a,b]表示,家里有 a 把伞公司有 b 把伞;

伞分布状态间相互转移的概率
注:所谓状态左(右)移,是对表一第一行状态相对位置而言。

当处于[1,2]或[2,1]时:
状态左移概率 = P{早下晚不下} = 0.5*0.6 = 0.3
状态右移概率 = P{早不下晚下} = 0.5*0.4 = 0.2
不变概率 = P{早晚都不下} +P{早晚都下}  = 0.5*0.6 + 0.5*0.4= 0.3 + 0.2 = 0.5

当处于[0,3]时:
淋雨概率 = 0.5
右移概率 = 0.4
不变概率 = 0.6

当处于[3,0]时:
淋雨概率 = 0.2
左移概率 = 0.3
不变概率 = 0.7

根据以上伞状态相互转移概率,依次计算每天每种状态出现的概率(表中蓝色数字),并计算处于[0,3] or [3,0]两种状态时淋雨的概率(见最右列);

表一
             [0,3]        [1,2]       [2,1]       [3,0]
星期1  0.00000 , 0.30000 , 0.50000 , 0.20000 , 0.00000  
星期2  0.09000 , 0.30000 , 0.37000 , 0.24000 , 0.04000  
星期3  0.14400 , 0.29700 , 0.31700 , 0.24200 , 0.09300  
星期4  0.17550 , 0.30120 , 0.29050 , 0.23280 , 0.12040  
星期5  0.19566 , 0.30795 , 0.27533 , 0.22106 , 0.13431

一周内淋雨的概率等于最右列之和:0.38771
一次都不淋雨的概率:1-0.38771 = 0.61229

这题手工计算十分繁琐且易出错,我专门编了一段程序算得表一,表一是精确值。
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发表于 2020-1-22 23:02 | 显示全部楼层
下表为模拟值

周一 0.00000,0.30003,0.50006,0.19991,0.00000
周二 0.09006,0.29978,0.37010,0.24005,0.04009
周三 0.14388,0.29701,0.31701,0.24210,0.09319
周四 0.17567,0.30089,0.29026,0.23318,0.12041
周五 0.19563,0.30772,0.27546,0.22120,0.13437
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