从中学基础知识出发，推导几个有关复数相乘、相除、乘方、开方的公式

Nicolas2050

根据两复数相乘的公式,设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')
　　则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))
　　令Z=Z',得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)
　　继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)
设当n=k－1时,有Z^n=r^(k－1)(cos (k－1)x+isin(k－1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k－1)(cos (k－1)x+isin(k－1)x)×r(cos x+isin x)
=r^k[cos (k－1)xcos x－sin(k－1)xsin x＋i﹙sin(k－1)xcos x＋sin xcos (k－1)x﹚]
=r^k(cos kx+isinkx),也成立
∴n∈N,Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
或者不用数学归纳法,可以这样证明：
引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
　　将e^t,sint ,cost 分别展开为泰勒级数：
　　e^t = 1 + t + t^2/2!+ t^3/3!+ …… + t^n/n!+ ……
　　sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
　　cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
　　将t = ix 代入以上三式 ,可得欧拉公式
　　应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
　　=e^inx
　　=cos(nx)+isin(nx)

luyuanhong

永远 发表于 2020-2-3 13:36
陆老师好，k值可以为负整数吗

可以。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-3 18:03
可以。

陆老师晚上好，你4楼公式四k=0.1.2.3.…，是不是要改一下。

luyuanhong

永远 发表于 2020-2-3 18:23
陆老师晚上好，你4楼公式四k=0.1.2.3.…，是不是要改一下。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-3 21:18

谢谢陆老师详细的解答，另外你楼上幅角怎么算，还有幅角主值啥的？？？在实际计算当中我是以幅角主值为主还是以其他角来计算

luyuanhong

永远 发表于 2020-2-3 23:10
谢谢陆老师详细的解答，另外你楼上幅角怎么算，还有幅角主值啥的？？？在实际计算当中我是以幅角主值为主 ...

公式中 cos、sin 后面的角，就是幅角。

至于“幅角主值”，完全是一个人为的规定，各种书中定义也不一样。

我不想多说了，你还是自己去研究吧。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-4 08:22
公式中 cos、sin 后面的角，就是幅角。

至于“幅角主值”，完全是一个人为的规定，各种书中定义也不一 ...

谢谢陆老师的讲解，我在查查

中国上海市

幅角主值一般是指在一系列幅角中，位于[0，2π)区间内的这个值

永远

中国上海市 发表于 2020-2-7 08:12
幅角主值一般是指在一系列幅角中，位于[0，2π)区间内的这个值

确实如此，4楼陆老师的帖子θ=arg z是幅角主值，为何说成是幅角？？？？
另外也没科普幅角和主值是咋算出来的太遗憾啦