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题 下列关于空间中直线、平面相互关系的叙述,哪些是正确的?
(A)任意两条相异直线一定有公垂线。
(B)过直线 L 外一点,有无限多条直线与 L 垂直。
(C)过平面 E 外一点,有无限多条直线与 E 垂直。
(D)若直线 L 与平面 E 垂直,则包含 L 的每个平面都与 E 垂直。
(E)E,F 是两个相异平面,直线 L1,L2 分别在 E,F 上,若 E∥F ,则 L1∥L2 。
解 若两直线相交,则通过两直线的交点且与两直线所在平面垂直的直线,就是它们
的公垂线。若两直线平行,在两直线所在的平面中,与一直线垂直的直线,必定也与
另一直线垂直,就是它们的公垂线。若两直线异面(歪斜),可求出两直线上点之间
的最近距离,最近距离所在的直线,就是两直线的公垂线。所以(A)正确。
过直线 L 外一点 P ,可以作一个平面 E 与 L 垂直,E 上任何一条通过 P 点
的直线,都与 L 垂直,所以与 L 垂直的直线有无限多条。(B)正确。
过平面 E 外一点,只能作一条直线与 E 垂直。(C)不正确。
若直线 L 与平面 E 垂直,平面 F 包含直线 L ,则平面 F 的法向量必定与 L 的
方向向量垂直,而 L 的方向向量就是平面 E 的法向量,可见 E,F 的法向量互相垂直,
也就是 E,F 互相垂直。(D)正确。
直线 L1,L2 分别在两个互相平行的平面 E,F 上,L1,L2 可以是两条异面(歪斜)
的直线,并不一定互相平行。(E)不正确。 |
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