磁力数6174揭秘

zhangyd2007@soh

                                                                             磁力数6174揭秘
                                                                                     张彧典

       题目：1955年（一说是1949年），印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位数的一种变换：
任取一个四位数，只要四个数字不全相同，按数字递减顺序排列，构成最大数作为被减数；按数字递增顺序排列，构成最小数作为减数，其差就会得6174；如不是6174，则按上述方法再作减法，至多不过7步就必然得到6174。
       如取四位数5462，按以上方法作运算如下：
        6542-2456=4086 8640-0468=8172
        8721-1278=7443 7443-3447=3996
        9963-3699=6264 6642-2466=4176
        7641-1467=6174
       四位数6174称为“卡普耶卡常数”或“6174黑洞”。美国数学家马丁在20世纪80年代曾研究过此问题 ，因此这项研究在国际数学界又称为“马丁猜想—6174问题”。
       那么，出现6174的结果究竟有什么科学依据呢？
解：设一个任意四位数为M，其最大排列数为M1=abcd，则最小排列数为M2=dcba，因此有a≥b≥c＞d，
        因为M1-M2=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
                           =999(a-d)+90(b-c)，

证明方法一：  分析方法。

        假设M1-M2=6174，
         则          6174=999(a-d)+90(b-c)   ---------------------------（1）
         即      999(a-d)= 6174-90(b-c)
         因为     90(b-c)的个位数字为0，
         所以    6174-90(b-c)的个位数字为4，
          而      999(a-d)的个位数字为4，
         因此，    9(a-d) 的个位数字为4，
         即         a-d=6                -----------------------    （2）
         把（2）代入（1），
         可以得到    6174=999X6+90(b-c)
          故           b-c=(6174-5994) / 90
          即           b-c=2            ------------------------   （3）
          当且仅当（2）、（3）同时成立，4个数字之和为9的倍数，
          所以，a=7,b=6,c=4,d=1为最小非0取值时，假设成立。

证明方法二：推导方法。

              因为M1-M2=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
                  即  M1-M2 =999(a-d)+90(b-c)=9 []111(a-d)+10(b-c)]，
               由此可知           a+b+c+d=18(9或27) （即9的倍数）     ----------(1)
                                              a-d  ＞0                              ------------------(2)
                                              b-c  ＞0                              ------------------(3)
                                              c-d  ＞0                            ------------------- (4)
              （1）+（2）得    2a+b+c ≥18                             -----------------(5)
              （1）+（3）得    a+2b+d ≥18                            -----------------(6)  
              （1）+（4）得    a+b+2c ≥18                            ------------------(7)  
              （4）+（6）得    a+2b+c ≥18                            ------------------(8)  
    由（5）、（7）、（8）组成三元不等式组，可以得到
                                             a 、b ≥4                              ------------------(9)
                                             c、d  ≤4                                  ---------------(10)
       由 （1）、（9）、（10），可以得到

                                   a=7,b=6,c=4,d=1

         把它们代入    M1-M2 =999(a-d)+90(b-c)  =6174
                    
        同样步骤，求解（1）中的8或27，无解。


最后回答：    这样的变换最多几次，就可以得到6174呢？
证明：符 合   a+b+c+d=27或18或9) （即9的倍数）
            而且    a≥b≥c≥d (等号不能同时成立) 的四位数从9990到3330，
         一共有 和为27的有12个，和为18的有40个，和为9的有12个，
                     a的取值为3---9，d的取值为0-6，都是7个，
          因此，从理论上可以推断：这样的变换最多7次，就可以得到6174 。
          那么，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）“这样的变换至多不过7步就必然得到6174”的判断是正确的。
        但是 ，zttmu12320先生在他的《怎么解释6174数学黑洞》指出：最后你总是到达达卡·普拉卡6174的黑洞，到达黑洞需要14步。
          敬请大家讨论。

乐趣数学

9731 就需要8次  不信你试试

Ysu2008

全在这儿了，总计 5040 个数，其中：
操作 1 次的有 288 个
操作 2 次的有 336 个
操作 3 次的有 1440 个
操作 4 次的有 264 个
操作 5 次的有 672 个
操作 6 次的有 456 个
操作 7 次的有 1584 个

列表太长，见附件。