一个底面积为 S 的圆柱被一倾角为 θ 的平面所截，截得的面积为 S '，求 S '/S

永远 · 发表于 2020-8-11 12:22

求助于陆老师，截面积与底面圆面积的比

小fisher · 发表于 2020-8-11 13:24

圆柱底面积\(S=πr^2\)，椭圆短半轴b=r，长半轴a=r·secθ，面积\(S'=πab=πr^2·secθ\)，所以\(\frac{S'}{S}=secθ\)

luyuanhong · 发表于 2020-8-11 13:31

楼上小fisher 的解答很好！已收藏。

永远 · 发表于 2020-8-11 16:05

本帖最后由永远于 2020-8-11 16:06 编辑

luyuanhong 发表于 2020-8-11 13:31
楼上小fisher 的解答很好！已收藏。

陆老师好，短半轴b为啥等于r呢，它是怎么论证分析的

永远 · 发表于 2020-8-11 19:57

本帖最后由永远于 2020-8-12 21:29 编辑

陆老师好，短半轴b为啥等于r呢，它是怎么论证分析的

luyuanhong · 发表于 2020-8-11 22:20

下面配一个图，你看了图应该就明白了。

波斯猫猫 · 发表于 2020-8-12 20:34

椭圆是圆锥曲线之一，它可以通过一个不平行且不垂直于底面的平面去截圆锥得到，以同样的方式去截圆柱得到的截口也是椭圆。对这个现象你有何感觉？但都是可以证明的。

永远 · 发表于 2020-8-12 21:28

波斯猫猫发表于 2020-8-12 20:34
椭圆是圆锥曲线之一，它可以通过一个不平行且不垂直于底面的平面去截圆锥得到，以同样的方式去截圆柱得到的 ...

平面截圆锥情况较多，主贴截得的截面是椭圆，我不知道为什么就是椭圆。话说倒半杯水，然后把杯子倾斜一定的角度，观察杯中的水面即为椭圆，中学阶段老师从来没提过相关话题。

永远 · 发表于 2020-8-12 22:21

luyuanhong 发表于 2020-8-11 22:20
下面配一个图，你看了图应该就明白了。

关于平面截圆柱的截面是椭圆，可以是双曲线又或者是抛物线吗，陆老师可以证明一下吗

小fisher · 发表于 2020-8-13 10:38

本帖最后由小fisher 于 2020-8-13 10:42 编辑

如图，对于曲线S'（暂不确定为椭圆）上任意一点(x', y')，在S平面上均存在一点(x,y)与之对应，其中x'=xsecθ，y'=y，(x,y)满足\(x^2+y^2=r^2\)，将x=x'/secθ，y'=y代入上式，可得到标准的椭圆方程\(\frac{x'^2}{(rsec\theta)^2}+\frac{y'^2}{r^2}=1\)

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一个底面积为 S 的圆柱被一倾角为 θ 的平面所截，截得的面积为 S '，求 S '/S

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