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楼主: myyour

D,E 分别是 AB,AC 上两点,延长 DE,BC 交于 F,已知 AD=2DB,SΔABC=SΔECF,求 CF:BC

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发表于 2020-9-24 10:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-9-24 10:28 编辑
myyour 发表于 2020-9-21 17:34
陆老师、王老师解得太精彩了。我尝试让k=2/3时,x/y的值也是有理数2。数学之美,令人陶醉。


记三角形ABC的三条边为a,b,c
P是三角形内的点,过P作角分线交c,b,a于D,E,F

我们可以有(至少):

\(\frac{AD*BF*CE}{AE*BD*CF}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*\sin∠PBC*\sin∠PCA}{\sin∠PAC*\sin∠PCB*\sin∠PBA}=1\)

\(\frac{PD*FC*AB}{PC*FB*AD}=1\ \ \ \frac{PD*EC*BA}{PC*EA*BD}=1\ \ \ \frac{PE*DB*CA}{PB*DA*CE}=1\)

\(\frac{PE*FB*AC}{PB*FC*AE}=1\ \ \ \frac{PF*EA*BC}{PA*EC*BF}=1\ \ \ \frac{PF*DA*CB}{PA*DB*CF}=1\)

\(\frac{\sin∠FAB*AB*FC}{\sin∠FAC*AC*FB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*AB*PE}{\sin∠PAE*AE*PB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAD*AD*PC}{\sin∠PAC*AC*PD}=1\)

\(\frac{\sin∠EBA*BA*EC}{\sin∠EBC*BC*EA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBA*BA*PF}{\sin∠PBF*BF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBD*BD*PC}{\sin∠PBC*BC*PD}=1\)

\(\frac{\sin∠DCA*CA*DB}{\sin∠DCB*CB*DA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCA*CA*PF}{\sin∠PCF*CF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCE*CE*PB}{\sin∠PCB*CB*PE}=1\)
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