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发表于 2020-10-5 02:41
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本帖最后由 elim 于 2021-1-8 08:43 编辑
解:证明或否证: 存在 [0,1] 上取值为无理数的严格增实函数
又解:定义\(\,D=\{m\in\mathbb{Z}:0\le m\le 9\},\)
\(\qquad\tau:\,[0,1]\to D^{\ \mathbb{N}^+}\;(x\mapsto\{x_n\},\;x=\sum x_n10^{-n},\;\underline{\lim}x_n< 9)\)
\(\qquad\)任取定\(\,\beta\in (0,1)\cap\mathbb{Q}^c,\;\;\beta=\sum\beta_n10^{-n}=0.\beta_1\beta_2\ldots\) 则
\(\qquad f_{\beta}:[0,1]\to(0,1)\quad(x\mapsto 0.x_1\beta_1x_2\beta_2\ldots,\;\tau(x)=\{x_n\})\)
\(\qquad\)严格增且\(\,f_{\beta}([0,1])\,\)不含有理数.\(\small\quad\square\)
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