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用幂级数解微分方程 y''-y=-x ,初值 y'(2)=-2 ,y(0)=0

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发表于 2020-9-19 02:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
y''-y=-x   初值y'(2)=-2   y(2)=0

因为没有给出任何 自变量为0的初值,因此级数展开后的各个x项无法消除。于是无法求出一个确定的a0 或者a1。 请问类似问题如何求解?
发表于 2020-9-19 18:54 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2020-9-19 19:12 | 显示全部楼层


如下图红线所示。

展开项常数项还有个u+2
所以开头的常数项是不是应该变成2a2-a0+2-2=0呢?

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发表于 2020-9-19 22:03 | 显示全部楼层
令 x=u+2 后,微分方程 y''-y+x=0 变成 y''-y+u+2=0 。

注意: u+2  并不是常数项,u+2 要拆成两部分,u 是 u 的一次方项,只有 2 是常数。

将幂级数表达式代入微分方程后,方程后面的 u+2 分成两部分:

其中的 u 并入 u 的一次方项,得到 (2×3a3-a1+1)u 。其中的 2 并入常数项,得到 2a2-a0+2 。

由于微分方程式恒等于 0 ,常数项应该等于 0 ,所以应该有 2a2-a0+2=0 ,并不是 2a2-a0+2-2=0 。
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 楼主| 发表于 2020-9-19 22:06 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2020-9-19 22:03
令 x=u+2 后,微分方程 y''-y+x=0 变成 y''-y+u+2=0 。

注意: u+2  并不是常数项,u+2 要拆成两部分,u ...

明白了。谢谢lu老师指正
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 楼主| 发表于 2020-9-20 02:14 | 显示全部楼层

lu老师你好。这道题。你教授的换元法我感觉我可以学会并应用到以后的类似问题。且我也可以求出下方截图中的第一行的a0,a1,a2,a3。但是从截图当中指出的第一步,第二步你是怎么想出来的?我觉得我只能穿越到未来看答案以后才能相除这种阶乘的组合,尤其是第二步,感觉想在破译密码。你是怎么看到第一步以后想出第二步的。是否有什么常用组合的表格。要不感觉这没有一种思路可以驱动大脑相除第二步来。可否分享一下你的思路?



下方是本题答案。形式和你给出的答案不同。我应该如何验证两者是否等价呢?

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发表于 2020-9-20 08:05 | 显示全部楼层
你将我“第一步”得到的结果,与书上的答案对比,就知道两者是完全一样的。

我只不过比书上再多做了几步,使得结果看起来更简单了。
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