中国古算书简介｜04 《孙子算经》与“大衍求一术”

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中国古算书简介｜04 《孙子算经》与“大衍求一术”

作者 | 李梦樵
来源 | 《中学数学教学》1983年04期

四 《孙子算经》与“大衍求一术”

《孙子算经》，相传为春秋时代作兵书十三篇的孙武子所作。但因为原书在明代已经亡佚，所以该书作者“孙子”究竟是谁，已经无从考证。现在所能见到的《孙子算经》，是清代乾隆年间，由安徽数学家戴震从《永乐大典》中辑出的。

书中卷下载有“长安洛阳相去九百里”及“今有佛书凡二十九章”。由于长安是西汉建国时所定京都的名称，而洛阳是东汉的首都，佛书开始传入中国在东汉明帝永平八年（公元65年)。由此，戴震认为“孙子”其人，不能早于汉明帝时代。又据《夏侯阳算经》序言称：五曹、孙子述作滋多，甄鸾、刘徽为之作注。刘徽是三世纪人，他为《九章算术》所作的注，发表于公元263年。综上所述，《孙子算经》成书年代，大致可以推断在公元66年至270年之间。

《孙子算经》共分上、中、下三卷。上卷论度量衡各种规定及算筹用法，是算术的基本知识。这是我国记载算筹用法的、所能见到的最早的算书。

算筹用法有“凡算之法，先识其位，一纵十横百立千僵，千十相望，万百相当。”就是说个位、百位，万位，算筹纵排。十位、千位，十万位，算筹横排。例如23421五位数用算筹排列当为 ▏▏≡ ▏▏▏▏= ▏

这样的排列遇到某一位没有数字就空一位，以后加一点(一个小石子)，以后加一个圈。“O”号的发现和使用，便从此而得。

中卷是讲应用题，包括面积、体积以及等差、等比数列，大致不出《九章算术》范围，但有开平方的步骤，为后世所遵循。又有“雉兔同笼”（即鸡兔同笼）问题常见于初级算书。

下卷有测算胎儿的性别及患重病人的吉凶，阮元认为鄙陋荒诞，当为后人妄增，未必是孙子原作。但下卷有一道题，是“大衍求一术”的起源，为中算史放一异彩。

下卷第26题：“今有物不知其数。三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？答曰：二十三。

术曰：三三数之剩2，置一百四十，五五数之剩3，置六十三，七七数之剩2，置三十。并之得二百三十三，以二百一十减之即得。

这一段话用现在数学的语言来说，就是：某数用3除余2，用5除余3，用7除余2，求其数。

解：3除的余数用70乘之，5除的余数用21乘之，7除的余数用15乘之，把三个乘积相加，减去105的倍数。即

2×70=140，3×21=63，2×15=30

140+63+30=233

233-2×105＝233-210=23

宋、周密在所著《志雅堂杂抄》，卷下“阴阳算术”条有“鬼谷算”，叙述《孙子算经》“物不知其数”一题及其解法，编成四句诗：

三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。

第一句是说，3除的余数用70乘之，第二句是说5除的余数用21乘之，第三句的上元是农历正月十五日，是说7除的余数用15乘之。第四句寒食节是清明前一天，由冬至到清明是106日，所以冬至到寒食节是105天。上面三个乘积相加再减去105的倍数。

上面四句诗词义隐晦。明程大位在所著《算法统宗》里换为下列四句：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百另五便得知。

程大位这四句诗广泛流传几乎家喻户晓。

上面的除数是3、5、7三个数，105=3×5×7。5除的余数用21乘，21=3×7；7除的余数用15乘，15=3×5。为什么3除的余数不用35乘而用70乘呢？难就难在这一点，妙也就妙在这一点。原来21被5除，余数是1。15被7除，余数也是1，独35被3除的余数不是1，只有2×35=70而70被3除的余数是1。从下面可以知道乘数2叫做乘率。从70、21、15三个数来看，有：

70=3的倍数+1=5的倍数=7的倍数

21=3的倍数=5的倍数+1=7的倍数

15=3的倍数=5的倍数=7的倍数+1

2×70=3的倍数+2=5的倍数=7的倍数

3×21=3的倍数=5的倍数+3=7的倍数

2×15=3的倍数=5的倍数=7的倍数+2

相加得：233=3的倍数+2=5的倍数+3=7的倍数+2

233-2×105=233-210=23。

宋·秦九韶作《数书九章》，其中一、二两卷是大衍类就孙子“物不知数”问题发展为“大衍求一术”。“大衍”是秦氏给的名称；“求一”是这类问题解题的关键。国外称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。这是中国数学最有独创性成就之一。继秦氏而后学者多有研究，改进其方法，扩大其应用。如宋·周密之“鬼谷算”，杨辉之“剪管术”；明·严恭的“管表”，周述学的“总分”，清·张敦仁的《求一术》三卷（1803年），骆腾凤的《艺游录》二卷（1843年），时日淳的《求一术指》一卷，黄宗宪的《求一术通解》二卷（1874年），以及现代著名数学家李俨、钱宝琮、华罗庚、吴文俊等，多所阐发。其中华罗庚教授所著《从孙子的“神奇妙算谈起”》一书深入浅出，引人入胜。国外如高斯、伟烈亚力、关孝和、三上义夫等亦各有论述。



(一)各除数彼此之间没有公约数(互质数)叫做“定母”，各定母连乘为“衍母”，在衍母中拿去一个定母其余各定母相乘为“衔数”。如是，有多少个定母就有多少个衍数。用定母去除相当的衍数，如果余数不是1，就要觅取一数a乘衍数，务使被定母除后余数为1，这个数a叫做“乘率”，有多少个衍数，就要有多少个乘率。乘率乘衍数叫做“用数”，用数乘剩数(题给的余数)叫做“各总”，各总合并，叫做“总数”，总数减去衍母倍数(要小于衍母)就得所求数 N.

用孙子问题作为例1，对上面术语作一说明，



（二）各除数不是互质数叫做泛母。将各泛母的质因子析出，有相同的质因子则保留其指数最大的加上△记号（例如4、6两泛母，析因后保留4、3。又如9、8、6三泛母，经析因后保留9、8、1，由于1作除数不起作用，第三项为废位)，由此而得定母仍依(一)求N。

求乘率的方法是“大衍求一术”的关键。要善于观察，化繁为简，如果不易观察，可用“辗转相除法”从而求出乘率而使余数为1。

例、65a+83得余数为1，求a、

解：83-65=18，65-3×18=11 即 65-3×(83-65)=11

即 4×65-3×83=11

5×(4×65-3×83)-3×(83-65)=23×65-18×83=1 (注：5×11-3×18=1)。

由是得乘率为23。下面再用例题说明。



现说明上面三个乘率的求法。

144=35×4+4而4×9-35=1，故乘率为9。（注：为简便起见，只就第一次余数考虑。事实上有144×9=35×4×9+4×9=35×36+4×9=35×37+4×9-35=35×37+1。)

315=16×19+11而 11×3-16×2=1  ∴ 乘率为3，

560=9×60+20而20×5-9×11=1   ∴ 乘率为5。

本题三个泛母皆有因子7，为了保证各定母间没有公约数，只能在某一项保留7。前面把7留在第一项，下面把7留在第三项，可以看出这不影响所求数N：



这里的三个乘率的探求法，读者可以作为练习。

上面两例说明了“大衍求一术”的计算方法。“大衍求一术”曾应用于天文历法测算上。自唐·麟德历以后至元·授时历以前各代历法家，用求一术以调正朔闰。郭守敬专重测验，废古法不用，全赖于秦九韶备载于所著《数书九章》。

华罗庚教授指出：中国剩余定理不仅在古代数学史上有地位，而且它的解法原则，在近代数学史上还占有重要的地位；在电子计算机的设计中，也有重要的应用。

关于“大衔求一术”的问题，还可用同余式的记法。例1可记作；N=2(mod 3), N=3(mod 5), N=2(mod 7)，求 N也可以用不定方程记之。求解；x=3a+2=5b+3=7c+2。

但用同余式解法与不定方程解法皆未能涉及“求一”的原则。

“求一术”是我国独创的数学理论，千余年来，中外学者，研究未衰，应用广泛，且方兴未艾。希望数学工作者多加研究，旁搜远绍，发扬国光，为四化建设，添砖添瓦。

ysr

求一术和求乘法的逆元本质相同，不知道哪个更简便？都用到了辗转相除法。
感谢陆元鸿教授给我的矩阵算法，使我不必推导公式就可以编程快速运算，得到最简解！
谢谢！

ysr

乘法的逆元有无穷多，最小的一个是唯一的（必须大于0），换成古人的说法：乘率是无穷的，大于0的乘率有唯一一个最小值。