实数的折尺模型结构（二进制）

awei

折尺相信很多人都见过，如下图

而我们今天所谈的折尺是一个理想的数学模型，最长一段的长度为1/2，然后每段的长度依次为1/4、1/8、1/16、……
即每段长度依次为1/2^n。
把折尺完全拉直，它的长度为
\[1=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n+1}}\]
只要折尺的每一段都互相平行，也就是说即便尺来回折，测量的边只要是一条直线。
那么这样的折尺形成的长度可以和0到1之间的实数一一对应。
\[0{<}a{<}1\]
\[a=\frac{1}{2}-\sum _{n=1}^{\infty } \frac{sgn[sin(2^{n}\pi a)]}{2^{n+1}}\]

awei

折尺来回折的次数越多，折尺的厚度就越厚，
当折尺的长度等于1/3的时候，折尺的厚度应该是最厚的
\[\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}……\]
好有趣的问题，耐人寻味