一个起源于 200 年前的彩虹问题，诞生了应用数学的“渐近”世界（下）

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一个起源于 200 年前的彩虹问题，诞生了应用数学的“渐近”世界（下）

撰文 | Marianne Freiberger

翻译 | 藏痴

审校 | Dannis

书接上回。正如这篇文章的前半部分讲述的那样，乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes）提出了一种近似艾里函数的有效方法，这有助于理解彩虹的附属虹。然而，尽管斯托克斯已经解决了实际问题，但他并不满意。他对艾里函数的近似是渐近的，这意味着它只适用于变量 x 取足够大正值或足够小负值的情况。在 x=0 处这一近似会发散到无穷大。

这本身并不是问题所在，渐近近似对于处理附属虹的目的来说已经足够好了。困扰斯托克斯的问题是，他的近似分成了两部分，分别由截然不同的两个数学表达式表示。下图展示了艾里函数（蓝线）和斯托克斯的近似值（红线），以及近似函数的两个数学表达式（斯托克斯近似是一个无穷级数，给出的表达式只考虑了级数的第一项）。


蓝色曲线是实际的艾里函数，红色曲线是斯托克斯的渐近近似。下方公式给出了每一段近似的数学描述。丨图源：豪斯

如你所见，x>0 部分的表达式包含一个指数函数项，而 x<0 部分包含一个正弦函数。如果了解这些函数，你就能发现问题所在。红色曲线在 x=0 的右侧从无穷大向下迅速衰减到零，这正是负指数函数的性质。而在 x=0 的左侧，红色曲线按照正弦函数的性质上下振荡。



现在事实证明，正弦函数可以被表示成两个指数函数的和。因此，斯托克斯的方案在 x>0 时有一个指数函数，而在 x<0 时有两个，即使原始的艾里函数并没有在变量取正值和负值时显示出这么明显的差异。“斯托克斯想要知道的是，如何在变量由负到正时使一个指数函数消失，而在由正到负时产生一个指数函数”，豪斯说。

升高维度

现在很明显，事情在 x=0 这一点变得很混乱。这里是一个奇点，两部分近似都在这里发散到无穷大。事实上任何事情都可能在无穷大的地方发生，指数函数可能会消失也可能会产生，所以或许这种现象并不那么令人惊讶。

然而斯托克斯做了一个当时看来具有革命性的操作。他把自己的近似看成了一个复数变量的函数。如果不知道什么是复数，你可以把这理解成升高一个维度。所有实数合在一起形成一条线，实变量函数将每个实数（也就是直线上的一个点）映射为另一个实数。复数可以用来代表二维平面上的一个点。复变量函数将一个复数（也就是平面上的点）映射为另一个复数。实数在复数中的表示就是平面内的一条直线，因此复数可以看作实数的扩充，复变函数可以看作实变函数的扩充。（这里是复数的介绍）

下图展示了所谓的复平面以及其中的实轴。复变函数将平面上的一个点作为输入，再给出平面上另一个点作为输出。我们没办法画出这样一个函数的图形，因为这需要四个维度，两个维度用于输入，两个维度用于输出。



复平面及其中水平的实轴。从实轴的正半轴过渡到负半轴并不需要经过零点，而是可以沿着蓝色半圆给出的路径。

一旦开始在复平面上考虑问题，而不仅仅局限于实轴的话，就有不止一条路径可以从实轴的正半轴过渡到负半轴。我们可以沿着上图中的蓝色半圆或者其他路径绕开 x=0 的点，从而避免奇点的问题。可是，在这个过程中，指数项在哪里又是如何产生的呢？

跃变的系数

在斯托克斯首次发表艾里函数近似方法的几年以后，他发现了这个问题的一部分答案。这里的数学十分复杂，所以我们只给出梗概。从本质上讲，斯托克斯在处理一个关于复变量 z 的函数的渐近近似，其中包含两个指数项，每一项都乘以一个系数和一个发散级数。换句话说，他在处理一个看起来像这样的东西：



如果这两个系数是收敛的，那么对于复平面内所有的 z ，系数 A 和 B 可以相等。这意味着，只要 A 和 B 都不为0，这个近似就永远有两个指数项。但当级数发散的时候，就有更多的可能性。斯托克斯意识到，在这种情况下，系数的数值可以发生跃变。具体而言，一个系数可以在平面的一侧等于零，这意味着此处整个渐近近似只包含一个指数项；在平面的另一部分，系数不再等于零，这一区域内渐近近似是两个指数项的和——这正是艾里函数的行为。

渐近近似中系数的值发生跃变的行为被称为斯托克斯现象（ Stokes' phenomenon）。

（事实上，斯托克斯发现这里的系数不仅是“可以发生”跃变，而是“必须”跃变。渐近近似必须严格满足的一个条件是，如果从正实轴的 z 值开始，沿一个完整环路绕零点一圈再回到 z ，那么得到的近似值也应该与最开始的值相等。斯托克斯注意到实现这一点的唯一方法是系数发生跃变。这是因为近似表达式中含有复变量的平方根，而这个平方根是多值的。）

斯托克斯线

在确定系数必须在复平面的某个位置发生跃变以后，斯托克斯开始研究这些跃变发生的位置。他发现，如果分开考虑表达式：



中的两项，考察它们在变量 z 绕零点环绕一周时的行为，就会发现两个指数项会轮流取比较大和比较小的绝对值。当一项很大时，另一项就会很小，反之亦然。（这与指数函数的指数的实部是正或负有关。）

系数值的跃变不能影响渐近近似作为一个整体需要满足的数学——如果系数从零到非零的变化会导致一个指数项的出现，那么这应该发生在最不显眼的地方。正因为如此，斯托克斯认为，只能是较小的系数在系数较大项的函数值取最大处发生了跃变。

“斯托克斯说的是，当系数较大的一项处在它函数值最大的位置时，另一项会开始起作用，”豪斯解释说，“就数值近似而言，如果你想添加一些东西，最好的时机是系数较大的一项处在它最大的位置，而你要添加的东西恰好最小。”

对于艾里函数，斯托克斯发现，将较小的指数添加进来而对渐近近似函数整体影响最小的位置是在下图给出的线上，这些线被称作斯托克斯线，它们与正实轴的夹角按逆时针依次为 120° 和 240° 。



从正实轴开始，逆时针绕零点一周。最开始渐近近似只有一个很小的指数函数，这个指数函数一直在增长，直到 120° 的斯托克斯线处达到最大，此时另一个很小的指数函数被加入并开始增长，到达负实轴时两个指数项都对整个近似有贡献。在 240° 处的第二条斯托克斯线，一个指数函数又被关闭。

“当你从正实轴开始绕零点运动时，在正实轴上衰减的指数函数开始增长，”豪斯解释说，“到达 120° 斯托克斯线时，它已经变得很大了，”他说，“如果在斯托克斯线处加入另一个很小的指数，那么等运动到负实轴时，两个指数函数大小相当，刚好可以组合成负实轴应有的正弦函数。”

更多问题

正如斯托克斯知晓的那样，这个以他名字命名的现象不仅发生在艾里函数上，也发生在其他一整类函数中。这些函数及其渐近近似在应用数学和理论物理中十分常见。当用这种数学处理真实问题的时候，我们并不希望指数项在不被注意的地方出现。“在一个区域它们可能只是指数级小量，但在另一个区域，它们可以再次增长，”豪斯说，“这就是必须考虑它们的原因。”

斯托克斯只是证明了指数项有可能产生，但他并没有给出指数如何产生的数学证明，这个问题在斯托克斯的解释一百多年后被再次提出，时至今日科学家仍在研究。

本文转载自微信公众号“中科院物理所”，编辑：zhenni，原题目为《斯托克斯眉头一皱，发现彩虹并不简单》。

原文链接：

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