为了把三角波函数和锯齿波函数展开成傅氏级数，问它们如何用一个公式表达？

天山草

为了利用 mathwmatica 软件中的 FourierTrigSeries 指令求得正弦半波整流函数 f(x) 的傅里叶级数，就需要找到一个 f(x) 的表达式。这个表达式不是唯一的，至少可以有三种不同的形式：

① f(x) =(Sin[x] + Abs[Sin[x]])/2。

② f(x) =Sin[x] HeavisideTheta[Sin[x]] ;  其中 HeavisideTheta 是赫维赛德变换。

③ f(x) =(Sin[x] + Sin[x] SquareWave[x/(2 \[Pi])])/2 ; 其中 SquareWave 是方波函数。

对于公式 ①，其傅里叶展开级数可由下面的指令求出：

1. FourierTrigSeries[ (Sin[x] + Abs[Sin[x]])/2, x, 11]

复制代码

运行结果如下：




现在要提出两个类似的问题： 如下图，为了把三角波函数和锯齿波函数展开成傅氏级数，问它们如何用一个公式 (不要用分段公式表述) 表达？

Nicolas2050

《信号与系统》课程是模拟、混合信号、射频的基础，且重要性极高，难度也很大，相信有不少抱着要从事IC设计这种高大上专业或职业的人都栽在了学习信号与系统的道路上。
波形的傅里叶级数展开涉及到积分变换知识。18世纪中叶，欧拉在研究振动弦问题时，利用三角函数正交性与复变函数的欧拉变换，尝试通过线性组合不同谐波的三角函数来表示质点振动问题。这个方法的建立是一个逐渐认识和完善的过程。其中就包括伯努利，拉格朗日、傅里叶等人。傅里叶深入研究了该问题，特别是非周期信号可以表示为不全成谐波关系的正弦信号的加权积分，为纪念傅里叶的突出贡献，以他的名字命名了傅里叶级数和傅里叶变换。

几种常见波形的傅里叶级数展开式见附件。（文件大于500K）加QQ群传吧。

天山草

三角波函数是  f[x]=ArcSin[Sin[x]];

锯齿波函数是  f[x]=2 ArcTan[Tan[x/2]];

以上两个函数是【初中数学讨论】论坛的 色k 先生给出的。

天山草

继续请教，下面这个 \(y=x^2 ，-π≤x≤\pi\) 如何用一个简单函数

在 (-∞,+∞) 上进行延拓？



另外，mathematica 软件有没有一个通用的方法，能把某个区间的函数延拓成在 (-∞,+∞) 上的周期函数？

天山草

函数 \(y=x^2，-\pi≤x≤+\pi\) 在\((-∞,+∞)\) 区间上的延拓 \(f(x)\)：



最下面一行是 \(f(x)\) 的傅里叶级数的前几项。

以上函数仍是【初中数学讨论】论坛的 色k 先生给出的，不知道其中有什么规律？

除了上面这个公式外，还有两个公式也能满足要求：

① \(f(x)=(arccos(cosx))^2\)

② \(f(x)=(2arcsin(sin\frac{x}{2}))^2\)

对于任意一段函数是否都有办法将它变成 \((-∞,+∞)\) 区间上的周期函数？