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量纲的数学意义

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发表于 2022-9-25 10:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 昶勣之光 于 2022-9-25 10:13 编辑

在我的前一篇文章《由0/0引发的思考》中,我引入了源0、源∞及多重解的概念,并指出了源0(源∞)的实数次方的意义:0次源0代表所有非0复数的集合(多重解),所以正次方的源0的集合(多重解)为0,所有的负次方源0的集合(多重解)代表着∞ 。在其中我们只讨论了源0的实数次方。自然而然,有人会想,源0的虚数次方是什么含义?

复数次方的源0的性质

首先,我们探讨一下在幂数虚部相同的情况下,复数次方源0的相加情况。

\(\forall a,b\in R,c\in R^+\Rightarrow[0^{b+ai}]+[0^{\left( b+c\right)+ai}]=[0^{b+ai}]\left( \left[ 0^0\right]+\left[ 0^c\right]\right)=[0^{b+ai}]\)

从以上的推倒我们可以发现,两幂数虚部相同的源0相加,其虚部不变,实部仍遵循低并性原则。这也就意味着我们在谈论实数次方的源0时发现的等级性在此仍成立——即:幂数虚部相同时,幂数实部大的源0比幂数实部小的更加低级,也就是\(\forall a,b\in R,c\in R^+\Rightarrow\left[ 0^{b+ai}\right]\)>\(\left[ 0^{\left( b+c\right)+ai}\right]\)。在这里,我们重载了“>”,它比较的是级别性的大小。为了方便描述,我们将源0幂数的虚部称为,纲相等的源0称为同纲源0,不等的叫异纲源0。

知道了同纲源0的低并性,我们产生了这样的疑问:既然0次源0代表了一个去心的复平面,正次源0在次平面内坍缩成“0”这个点,负次源在复平面内找不到,那么幂数虚部不为0的同纲源0也有类似的性质吗?即幂数实部为0的源0是否也能代表一个去心平面,其余幂数实部为正的同纲源0是否也在这个平面中坍缩成“0”这个点,幂数实部为负的同纲源0是否也在平面内找不到?如果是的话,那么这个平面又代表着什么呢?问题搁置在这里,我们继续探讨一下源0之间的乘法运算。

比较简单的情况是幂数实部相等的情况。又因为幂数实部为0时所代表的平面对我们而言或许更有意义,因此这里就先讨论一下幂数实部为0的源0之间的乘法运算。

\(\forall a,b\in R\Rightarrow\left[ 0^{ai}\right]\times\left[ 0^{bi}\right]=\left[ 0^{\left( a+b\right)i}\right]\)

我们可以发现,当两个源0的纲均不为0时,两者相乘的结果必然是第三纲的源0。综合前面同纲源0平面的问题,我们可以推论出什么?

源0的纲与量纲

敢于推断的你也许发现了,源0的纲或许与量纲之间存在某些联系!当纲不为0时,某一纲的所有同纲源0组成的“超数集”与 星\(\cup\)玮 集(也就是复数集并∞)十分相似。我们不妨设纲非0的源0比纲为0的源0多了一个单位 ,其意义就显而易见了——前者是后者的一个“翻版”,一个量纲不为0的“翻版”。拿米(m)举例子,我们设量纲为m的“超数集”是所有纲为a(a为非0实数)的源0组成的集合,那么\(\left[ 0^{ai}\right]\)代表的去心平面是所有量纲为m的非0复数点组成的平面。其他的同理。

这样说可能还不太清楚,我们举个例子吧。设\(x=2m\in\left[ 0^{ai}\right]{,}t=1s\in\left[ 0^{bi}\right]\Rightarrow v=2m\)/s\(\in\left[ 0^{\left( a-b\right)i}\right]\)。在这个例子中,位移、时间、速度分别属于三个不同纲的源0,其外在表现在于它们的单位不同。

总结

数的量纲不同,实质是它们属于纲不同的源0的平面。这样一来,我们就解释清楚量纲的数学意义。
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