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求证一个基础数学命题

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发表于 2023-1-19 18:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 金瑞生 于 2023-1-19 19:30 编辑

     命题:设\(f_1(z)\),\(f_2(z)\),\(f_3(z)\)均为非零多项式,其中(\(f_2(z)\),\(f_3(z)\))=1,求证:\begin{cases}f_{1}(z)=0\\f_{2}(z)=0\end{cases}所有复数解加上\begin{cases}f_{1}(z)=0\\f_{3}(z)=0\end{cases}所有复数解就是\begin{cases}f_{1}(z)=0\\f_{2}(z)f_{3}(z)=0\end{cases}所有复数解.
 楼主| 发表于 2023-1-21 11:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 金瑞生 于 2023-1-21 14:13 编辑

      对于多项式方程来说,竟然没有适合自己的集合论,这是非常遗憾的事,这也是我在为研究整式代数方程统一解法原理建立新的根号体系时无意中发现的,总根号作为由方程所有复根组成的集合,其元素是允许有重元的,它不是Cantor集合,因此必须建立新的集合论。本主贴命题的证明就要用到新集合论中的分配律,该分配律与Cantor集合论中的分配律是不一样的,必须符合特定条件才成立。
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 楼主| 发表于 2023-1-21 11:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 金瑞生 于 2023-1-21 22:25 编辑
金瑞生 发表于 2023-1-21 11:12
对于多项式方程来说,竟然没有适合自己的集合论,这是非常遗憾的事,这也是我在为研究整式代数方程统一解法 ...


       引理:设所列集合均为允许有重元的有限集合,则有分配律:
  \(A\)\(\cup\)\((B\)\(\cap\)\(C\))=(\(A\)\(\cup\)\(B\))\(\cap\)\((A\)\(\cup\)\(C\))成立,但\(A\)\(\cap\)\((B\)\(\cup\)\(C\))=(\(A\)\(\cap\)\(B\))\(\cup\)\((A\)\(\cap\)\(C\))不成立。若\(B\)\(\cap\)\(C\)=\(\Phi\),则\(A\)\(\cap\)\((B\)\(\cup\)\(C\))=(\(A\)\(\cap\)\(B\))\(\cup\)\((A\)\(\cap\)\(C\))成立。

     下面证明本主贴命题:

      证明 由题设令\(A\),\(B\),\(C\)依次是\(f_1(z)\)=0,\(f_2(z)\)=0,\(f_3(z)=0所有复根组成的根集,则  A\)\(\cap\)\(B\),\(A\)\(\cap\)\(C\),\(B\)\(\cap\)\(C\),\(A\)\(\cap\)\((B\)\(\cup\)\(C\))依次代表\begin{cases}f_{1}(z)=0\\f_{2}(z)=0\end{cases},\begin{cases}f_{1}(z)=0\\f_{3}(z)=0\end{cases},\begin{cases}f_{2}(z)=0\\f_{3}(z)=0\end{cases},\begin{cases}f_{1}(z)=0\\f_{2}(z)f_{3}(z)=0\end{cases}所有复数解组成的解集.又(\(f_2(z)\),\(f_3(z)\))=1,于是\begin{cases}f_{2}(z)=0\\f_{3}(z)=0\end{cases}无解,\(B\)\(\cap\)\(C\)=\(\Phi\),由引理则\(A\)\(\cap\)\((B\)\(\cup\)\(C\))=(\(A\)\(\cap\)\(B\))\(\cup\)\((A\)\(\cap\)\(C\))成立,故命题成立.
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