数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 497|回复: 1

用泰特猜想证明四色猜测是正确的

[复制链接]
发表于 2023-5-24 09:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

用泰特猜想证明四色猜测是正确的
雷    明
(二〇二三年五月二十日)

为了解决四色问题,1880年泰特提出了如下的猜想。“无割边的3—正则平面图的可3—边着色,等价于该图的可4—面着色”。地图就是一个无割边的3—正则平面图(以下简写为3—正则图)。如果这个猜想是正确的,那么,解决四色问题时就只要证明任何3—正则图都是可3—边着色的就可以了。所以,用泰特猜想证明四色问题时,可分两步。一是证明泰特猜想本身是否正确,二是证明无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的。
一,泰特猜想的证明
1,3—正则图的边着色时,每一个3—度顶点所连结的三条边是必须用三种颜色(分别用数字1,2,3表示)。每条边又都连结着一个3—度顶点,三种颜色也够用了。一直这样着色下去,直到各条边都着色完毕,三种颜色也就够用了。这样就证明了3—正则图一定是可3—边着色的(后面还要用归纳法进行检验)。
2,在已知是可3—边着色的3—正则图中,把由连结着同一个3—度顶点的两条不同颜色的边共同所夹(相邻)的面,在面着色时所用的颜色用字毌A,B,C表示,则与每一个3—度顶点相邻的三个面分别就是三种不同的颜色。
3,在3—正则图中,有偶数边面,也有奇数边面。偶数边面各边最多只占用两种颜色,把只含某两种颜色的边的面,在面着色时用某一种颜色(如把只用了1,2两种颜色边着色的面着A色,把只用了1,3两种颜色边着色的面着B色,把只用了2,3两种颜色边着色的面着C色)。奇数边面各边最多只占用三种颜色。前面已确定了的面着色时的三种颜色A,B,C均不能使用,只能再把使用了1,2,3三种颜色边着色时的面着上第四种颜色D。
4,到此,泰特猜想就得到了证明是正确的。即可3—边着色的3—正则平面图——地图——等价于其可4—面着色的泰特猜想是正确的。
二,3一正则图都是可3一边着色的
1,若3—正则图的顶点数为Ⅴ,则其总度数D=3Ⅴ,则边数E=3Ⅴ/2,即E=1.5Ⅴ。可以看出,只有Ⅴ是偶数时才能滿足E是整数的要求。所以3—正则图的顶点数一定都是偶数。
2,由于Ⅴ一定是偶数,所以可3—边着色的3—正则图中一定含有一个或多个1,2色边的,1,3色边的和2,3色边的边2—色圈(偶圈),且每个边2—色圈中一定含有一个或多个属于该3—正则图中的面。
3,若有一个已可3—边着色的3—正则图,有K个面,则在其中的任一个面的任何两条边中各增加一个顶点并用边连结起来,图中就增加了两个3—度顶点,一个面和三条边,成为一个有K十1个面的3—正则图。现在看这个图是否是可3—边着色的。
4,如果想通过在某个面的某两种颜色的边上增加顶点的办法来增加3—正则图的面数,则要找出包含该面的该两种颜色的边2—色圈。无论是在该面两个相邻边上增加顶点,还是在不相邻的边上增加顶点,只要在所增加的两点间连线的任一侧进行该两种颜色的边的颜色交换,再把所增加的两点间的连线着上第三种颜色,这个有K十1个面的3—正则图就仍是可3—边着色的(如下图)。
5,如果想在另外的某个面的另外两种颜色的边上增加顶点,来增加3—正则图的面数,使其变成有K十1个面的3一正则图,也以用同样的方法法进行处理,同样也可得到有K十1个面的可3—边着色的3一正则的平面图。
6,这也就证明和检验了任何3—正则的平面图一定都是可3—边着色的。
三,总结
任何地图都是一个无割边的3—正则的平面图。任何3—正则图都是可3—边着色的。可3—边着色的3—正则图等价于其可4—面着色。泰特猜想是正确的。于是地图四色猜测也是正确的。于是又得出任何地图的对偶图——所有面都是三边形面的极大平面图——也是可4—(顶点)着色的。已经可4—着色的极大图经减边或去顶后的任意平面图的色数只会减少,而不会再增加。于是又有任意平面图也都是可4—着色的。平面图的四色猜测也是正确的。总之,地图四色猜测和平面图的四色猜测都是正确的。
雷  明
二○二三年五月二十日于长安
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 08:24 , Processed in 0.077149 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表