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路易·卡法雷 (Luis A Caffarelli)获得2018年度邵逸夫数学奖

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发表于 2018-5-21 14:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
路易·卡法雷 (Luis A Caffarelli)获得2018年度邵逸夫数学奖

来源:邵逸夫奖网站

2018年度邵逸夫数学科学奖颁予路易·卡法雷 (Luis A Caffarelli),以表彰他在偏微分方程上的突破性工作,
包括创立一套正则理论,适用于如蒙日−安培方程等非线性方程,及如障碍问题等的自由边界问题,这些工作影
响了该领域整个世代的研究。路易·卡法雷是美国得克萨斯大学奥斯汀分校数学教授。

偏微分方程对于大部分数学、物理以至所有科学的很多领域都非常重要。它们用于模拟热流、流体运动、电磁
波、量子力学、肥皂泡形状,以及无数其他物理现象。

只有一些非常简单的方程是可以明确地解答 — 亦即是能够以明确的方式把它们的解严格表示出来 — 但这些
情况是非常例外,不是常规的。人们只能退而求其次,试图证明答案是存在的,并尝试刻划答案的一些特性。

一个非常重要的例子就是纳维−斯托克斯方程,它描述黏稠流体的运动。在给予适当的初始条件下,我们不知道
是否必定有永远保持良好表现的解,抑或奇点必然出现。以图像化方式来解说,如果搅动一桶水,那么一星期
后会否有爆破的危险?大概不会,但没有人知道如何证明这一点,这是数学界未能解决的重要问题之一。

虽然不知道如何解决纳维−斯托克斯方程,但可以找到所谓的「弱解」,它们是满足方程式的抽像体,但在某程
度上不是我们真正想要的解。如果可以证明这些解是「正则」的,那么纳维−斯托克斯问题就可以解决。卡法雷、
科恩和尼伦伯格所获得的着名结果迄今最接近这个目标:它表明除了一个奇点集合之外,弱解是存在的,是正
则的,而且这个奇点集合在精确的数学意义上必须非常小。

卡法雷在另一个领域建立出一个全新而又非常有影响力的理论,就是障碍问题。人们想知道一片具有特定边界
的弹性膜放在某些障碍物上所取的形状。这形状必然将能量减到最低,但重要的问题是这类解的良好或「正则」
程度。就像在偏微分方程中所有重要问题一样,这个障碍问题在很多情况下都会出现,包括在多孔介质中的流
体过滤和金融数学。

一般来讲,因为不会常有解决偏微分方程的显式公式,所以对其特性的分析非常困难,并取决于极其精密的估
计。卡法雷是这方面的高手,经常提出一些令人觉得不可思议的论证方法。他继续在这方面的最前线工作,他
自己的工作和他的博士生的研究工作都对该领域产生着极大的影响。他指导的博士生中有些已经成为非常杰出
的数学家。某种程度上,能够开创一个重要领域的数学家已经不多,但他却连二接三开辟新的研究领域,这些
领域活力十足,历久常新。

  
邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)
  
2018年5月14日  香港
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