5—轮构形着色时最多需要使用多少次坎泊的颜色交换技术

雷明85639720

5—轮构形着色时最多需要使用多少次坎泊的颜色交换技术
——再与张彧典先生交换意见(之五)
雷  明
(二○一八年七月十五日)

这里主要说的是5—轮构形中的H—构形型。张彧典先生一直主张用连续颠倒（注意，颠倒实质上就是坎泊的颜色交换技术）的方法解决H—构形的着色问题，这无疑是可以的。我已经说过了多次,张先生的连续颠倒法是给平面图5—轮构形进行着色的好方法，不管构形是否是H—构形都是可以的。但张先生又主张以颠倒次数的多少对H—构形进行分类，我却认为是错误的。张先生多年来，对H—构形的分类曾经有过八类，九类，后来又是四类，前段又成了九类，最近又提出了十九类。到底有多少种类，没有一个明确的结论。张先生的这个不可免集中的元素个数一次次的在变化着，但张先生却一次次的说他的构形集是完备的。道底张先生是否对其完备性进行了证明，是可想而知的。
现在张先生又提出了H—构形最多连续颠倒16次，就可以对任何H—构形的图中的待着色顶点着上四种颜色之一的猜想。我认为5—轮构形着色时最多颠倒（交换）的次数应是19次。现证明如下：
1、用X＋Y－2的理论构造新的构形。
首先说明一点，张先生是把可连续移去两个同色B的K—构形的图也看成是H—构形的，所以我这里也是把这样的图当成是H—构形看的。
任一个H—构形，从逆时针和顺时针两个方向上，都可以进行连续颠倒，且都可以空出颜色给待着色顶点着上。设一个H—构形按逆时针方向进行连续颠倒时，需要X次颠倒，就可空出颜色给待着色顶点着上，而按顺时针方向进行颠倒时，则需要Y次颠倒，也就可以空出颜色给待着色顶点着上（如图1）。

在图1中，0点的图是最初的Ｈ—构形，X和Y点的图是已给待着色顶点着上颜色的图。X―2和Y―2点的图就是可以连续移去两个同色的K—构形（而张先生则认为这是H—构形），经X―1点或Y―1点移去一个同色（这就是张先生所说的我“犯了本质错误”的那两个构形），再到X点和Y点就分别移去了两个同色。这里的X―1点和Y―1点的图，就是张先生批评我的需要十七次连续颠倒的图是“犯了本质错误”的那类构形。难道从这X―1点和Y―1点开始，就不可以再向相反方向进行连续颠倒吗。
如果对一个已知的构形，进行了两个方向的连续颠倒，都空出了颜色给待着色顶点着上，这时，我们就一定可以构造出一个连续颠倒次数是X＋Y－2的构形。我已构造的多个构形都是在张先生的构形的基础上用这种办法构造的。但X和Y的值最大是多少，X＋Y的值最大又是多少呢？这就是我们本文要解决的问题。
2、交换的次数最大值是多少的证明
我们已经知道，一个５—轮构形，在进行了二十次连续颠倒后，各顶点的颜色就会又回到与颠倒前完全相同的样子，但仍是有一个顶点未着色的“构形”。当颠倒的次数小于二十次时，这时就一定会空出一种颜色，给待着色顶点着上。这时，连续颠倒着色就已以完成。若已连续颠倒二十次后，再进行连续颠倒时，每连续颠倒二十次，构形仍然会与颠倒前的构形相同时，这就是敢峰的终极图。
2、1  两个不同方向连续颠倒的总次数不会超过20次
从图1中可以看出，开始颠倒的起点除了X点和Y点外，可以是图1中的任何顶点，分别向右以逆时针方向颠倒和向左以顺逆时针方向颠倒到达X点和Y点。颠倒的次数一定是不会达到20的，否则到达X点和Y点时，将仍是还有一个顶点未着色的“构形”，而不可能是全部顶点都着了颜色的图。很明显，从X―1点到Y点（或从Y―1点到X点）的颠倒次数是X＋Y－1。若令X＋Y－1≤19，则有X＋Y≤20。这就是说任何一个5—轮构形进行两个方向的连续颠倒时，两个方向连续颠倒的总次数是不会超过20的，即X＋Y≤20。
2、2  一个方向连续颠倒的最多次数也不会超过20次
从图1中还可以看出，当两个不同方向连续颠倒的次数分别是X和Y时，一定可以构造出一个颠倒次数是X＋Y―n的新的构形来。
处在X―1和Y―1点处的图，虽是K—构形而不是H—构形的图，但却是5—轮构形，也可以进行连续颠倒。如果从X―1点或Y―1点连续颠倒到Y点或X点时，从X―1点或Y―1点分别到Y点和X点的颠倒次数一定都是X＋Y―n＝X＋Y―1次，它一定是小于20的，即有X＋Y―1＜20，也即X＋Y－1≤19。这就是说任何5—轮构形的连续颠倒次数一定是小于等于19的。
如果象张先生那样，把处在X―2点和Y―2点的可以连续移去两个同色的K—构形，也当成H—构形来看待时，则处在X―2点和Y―2点之间的（包括X―2点和Y―2点的两个构形）所有的构形，都是H—构形。如果从X―2点或Y―2点连续颠倒到Y点或X点时，从X―1点或Y―1点分别到Y点和X点的颠倒次数一定都是X＋Y―ｎ＝X＋Y―２次，则它也一定是小于19的，即有X＋Y―2＜19，即X＋Y－2≤18。这就是说任何有两条连通且交叉链的H—构形的连续颠倒次数一定是小于等于18的。
若把处在X―2点和Y―2点的可以连续移去两个同色的K—构形，不当成H—构形看待，而是当成是非H的K—构形看待时，则处在X―2和Y―2点之间的（不包括X―2和Y―2点的两个构形）所有的构形，才算都是真正的H—构形。如果从X―3点或Y―3点连续颠倒到Y点或X点时，从X―3点或Y―3点分别到Y点和X点的颠倒次数也都一定是X＋Y―3＝X＋Y―3次，它则一定是小于18的，即有X＋Y―3＜18，即X＋Y－3≤17。这就是说任何真正是H—构形的构形连续颠倒次数也一定是小于等于17的。
由此看来，各种构形的最多颠倒次数是不能笼统而论的，构形不同最多颠倒次数也是不同的。真正的H—构形最多的颠倒次数是17次，有两条连通且相交叉的链的、并可以连续移去两个同色的H—构形，最多的颠倒次数是18，而5—轮构形的K—构形的最多颠倒次数是19。由于前两种构形也都是5—轮构形，所以也可这样以说，任何5—轮构形最多的颠倒次数就是19。
概括的说就是：任何5—轮构形单方向连续颠倒的次数最大是不会超过20的，任何5—轮构形两个方向连续颠倒的总次数也是不会超过20的。
3、连续颠倒只能是一种给平面图5—轮构形着色的好方法
我们今天虽然证明了平面图5—轮构形颠倒的次数最多也不会达到20次，但这对于证明四色猜测是没有任何用处的，而只能是方便于给平面图5—轮构形的4—着色。除了敢峰的终极图外，若遇到任何一个5—轮构形，就可以不加任何思索的，也不管其是K—构形，还是H—构形，都可以使用连续颠倒的方法着色的。从任何一个方向进行连续的颠倒，不超过二十次连续真倒都一定是可以空出颜色给待着色顶点的。从这个意义上讲，连续颠倒真是给平面图5—轮构形4—着色的一种好方法。但它不是证明四色猜测的方法，按连续颠倒次数的多少，把平面图的H—构形分成19类或20类则是错误的。随便给你张先生一个图，你能不去具体的进行颠倒，只通过眼睛去看，能分析出它是属于那个颠倒次数的构形呢。显然你是确定不了嘛。如果你进行了连续的颠倒，才能知道它属于那一个颠倒次数的一类构形，还有什么用呢。你还不如把所有的平面图5—轮构形都着色一遍，也不就证明了四色猜测是否正确了吗。但你能把这无穷多的平面图5—轮构形都着色完吗。而我的按图的结构去对平面图的H—构形进行分类的方法，只要你随便给出任何一个图，我就可以只用眼睛去看，就可以分析出它是属于那一类构形。再用解决该类构形的办法去解决，就一定能空出一种颜色来给待着色顶点着上。

雷  明
二○一八年七月十五日于长安

注：此文已于二○一八年七月十六日在《中国博士见外 发表过，网址是：

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