我与乔修让教授级高级工程师关于四色问题的微信和电子邮件的往来

雷明85639720

我与乔修让教授级高级工程师关于四色问题的微信和电子邮件的往来
雷  明
(二○一八年十月二十八日)

1、        前言
2018年10月14日上午，我与四色爱好者洛阳的乔修让教授级高级工程师在西安的陕西省图书馆进行了第二次会面，交流了有关各自对四色问题的看法。建立了微信联系，留下了电子信箱，约好相互交换有关文章。
17日，乔工回到各阳后，给我用语音发微信说：“老雷，我把文章发给你了，你看了以后，给提提意见。（乔工的文章叫《三色和平面图四色定理的证明及P＝NP》——雷注）
我也发语音回复：“好。”“我也给你发了一篇文章，看后也请提意见。”（我的文章名叫《解决四色问题的关键是一定要把无穷的问题转化成有穷的问题》——雷注）
17日晚我用微信回复：老乔，你的找顶独立集的办法实质上与我的求图的最小完全同态的方法是相同的。我把你的文章已经打印出来，看后我们可好好的交换意见。
2、        用微信交换意见
17日晚我用微信说：
各个顶独立集中的各个顶点在图中均是不相邻的，你最后得到的Kn图的每一个顶点都代表一个顶独立集。n是几，就有几个顶独立集。我的最小完全同态的各个顶点也是由互不相邻的的顶点凝结而来的。我把这种凝结叫同化，图论中叫收缩。我感到叫同化比收缩更好。不相邻顶点的凝结叫同化要好些，以区别于相邻顶点间的收缩。我的最小完全同态也是一个完全图Kn，n是几，最小完全同态就有几个顶点，图着色时就得用几种颜色。我已经证明了平面图的最小完全同态的顶点数是不大于4的，所以平面图的色数也是不会大于4的。
乔用语音说：你说的同态，最小同态，最小完全同态，这些概念，在图论书上都找不到，所以你这个定义我也没有见到。所以你这些东西我认为是在图论界好象是不太容易接受。
我继续用微信回复：
最小完全同态在图论中也是有的，《图论的例和反例》一书中就有，哈拉里的《图论》书中也有。难道书中没有的概念我们就不能创造吗？图论书目中的所有概念不也是不断发展起来的吗？也都不是一开始就有的。你这样的论调是停止的论调，不发展，不创新的论调。你的文章中难道就没有你自已定义的概念吗？关键的问题不是书中有没有的问题，而是说得有没有道理的问题。无道理是要抛弃的，有道理就得使用。我的同化概念是从《图论的例和反例》中来的，最小完全同态是从哈拉里的《图论》书中来的。图的最小完全同态的顶点数就是图的色数这一结论也是哈拉里作出的。我只是证明了平面图的最小完全同态的顶点数是小于等于4的。
18日早我继续用微信说：
一个人所看过的书和已有的知识都是有限的，你没有看到的东西不一定就不存在，即就是不存在，还可以再创新嘛！你的层图不也是一个创新吗？你的层图虽与树图相近，但又不相同。你的第一层的顶点3与第二层内的各顶点在原图中是一个圈上的顶点，是依次相邻的，不过你所画的图不是依次画的。等等。你用层图法找图的最小顶独立集数的方法，不也是以前的图论书中没有的吗？这不也是一个创造吗？图的色数不就等于你所谓找出来的最小顶独立集数吗？平面图的顶独立集数，不就是小于等于4的吗？这不就是四色猜测吗？不创新，不创造怎么能够前进呢？
坎泊创造的颜色交换技术是对的。通过对某些链的颜色的交换，是可以空出某一种颜色给待着色顶点着色的。不管进行几次交换，却都是可以的，最终只要给待着色顶点着上四种颜色之一就可以了。不一定只准交换一次。坎泊在连续移去两个同色时，不是也要进行两次交换吗？可以交换的链必须是不连通的。但赫渥特在进行第二次交换时，却交换的是一条连通的链，这怎么能空出颜色来呢？不在赫渥特原着色基础上对该图进行4—着色，也没有错，但并不能解决赫渥特所提出的问题。赫渥特图应是只有一个顶点未进行着色的构形，而不是一个顶点也未着色的裸图。它用坎泊的颜色交换技术也是可以4—着色的。只是交换的次数是3，而不是1或2。但对赫渥特图一个图的4—着色，并不能说明四色猜测就是正确的。还需要对具有与赫渥特图有同样特征的构形进行证明，是否都是可约的。都可约了，猜测才是正确的，只要有一个不可约，猜测就是不正确的。现在大家都是在进行着这一步的工作。与赫渥特图有相同特征的构形共有三类，一类中有环形的A—B链，另一类中有环形的C—D链，第三类是无环形链的。这三类分别都有自已的解决办法。都能可4—着色。所以四色猜测也就是正确的了。
你的文章大体分为三部分，一是证明平面图最多只有四个顶独立集，即图平面图的顶独立集数是小于等于4的。二是用层图法找顶独立集。三是对赫渥特图进行验证。我认为你的思路也是正确的，结论也是对的。但你的文字很难懂，也没有用图进行输助说明，看不懂也就不想看了。我想大多数的读者会是这样的。一次，两次，再看不明白，一定不会再看了。你的举例用的是赫渥特图的裸图，应该说已不再是赫渥特图了。而是一个任意的平面图。因为赫渥特图本来就是只剩下一个顶点未着色的色图，而不是裸图。
乔工用语音说：你那儿如果有赫渥特的那个图的时候，请你发给我。
18日下午我继续回复：
赫渥特图是有的，但我现在在金堆城，等我回西安后，给你发过去。并给你说明如何在赫渥特原着色的基础上对其进行4—着色。
图论中有顶独立数的概念，是指在一个图的各个顶独立集中，某个顶独立集中可能出现的最大顶点数。而我说的顶独立集数则是一个图可能分出的最小顶独立集的个数。平面图的最小顶独立集数可能分别是1，2，3或4，最大的最小顶独立集数则是4。所以平面图的色数最大只能是4。你的最小顶独立集数就是我说的最小完全同态的顶点数，也就是平面图的色数。由于平面图的种类是无限多的，永远也无法着色完毕，所以用着色法是不可能证明四色猜测的。
若要用着色法证明四色猜测，就必须把无限多的图转化成有限多的构形。把一个无穷的问题转化成有穷的问题去进行解决。这就引出了构形的概念。构形不是具体的图，而是只有一个顶点未着色，但能够代表具有某种结构特征的一类图的非具体的图。平面图的不可避免的构形却是有限的。这就把四色问题由一个无穷的问题转化成了有穷的问题了。
平面图的不可免构形有两大类，即坎泊的K—构形，和赫渥特图型的H—构形。K—构形中有2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，简单的只交换一次，就可以空出颜色的5—轮构形和需要两次交换才能连续的移去两个同色的5—轮构形六类子构形。H—构形又可分为有环形的A—B链，有环形的C—D链，和无环形链的三类子构形。它们都是有限的，也都是可约的。所以说四色猜测是可以证明的，也是正确的。
不画图，不着色证明四色猜测的方法也是有的。也是可以进行证明，且也能得出四色猜测是正确的。求最小顶独立集数，求最小完全同态的顶点数，都是不画图，不着色的证明方法。另外还可以用公式推导进行证明。从赫渥特的地图着色公式，和林格尔的公式都可以推导证明。从图中最大团的不可同化道路，及图的米歇尔斯基操作（M—操作）都可以进行证明。只要图没有变成非平面图，其色数都是不会大于4的。
19日早我继续回复：
你的论文中提到了四色问题属于图论中的NP－C问题，但你并没有讲什么是NP－C问题，也没有讲其与四色问题之间有什么联系，又是如何得到NP＝P的。这些问题你都没有讲（或者我不知道什么是NP－C问题），所以我说，提出了这一问题，还不如不提。只证明最小顶独立集数就是图的色数和平面图的最小顶独立集数小于等于4的就可以了。
从你对顶点闭邻子图的定义看,它际上就是以图中某个顶点为“核点”的分子图，对于极大平面图来说，这些分子图都是一个轮。当然这些分子图中的最大团一定是小于等于该分子图的色数的。也一定是小于等于该图的色数的。对于图本身就只是一个轮的图来说，中心顶点的度，就比轮的顶点数小1，以其中心顶点为核点的分子图的色数一定就等于该图的色数。外可平面图是可3—着色的。但色数不一定都是3，也可以有是2的。如一个偶圈的色数就是2而不是3。所以你说的“Qi－Vi＝Wi，它是可以3—着色的，用第四种颜色染Vi即可”，还不如说成“Vi至少还有一种颜色可着”更严密一些。同一个图，虽然色数只有一个，但用这几种颜色可着出不同的模式。对于赫渥特裸图来说，你用找最小顶独立集数的办法，是一种着色模式；许寿椿教授用他的算法，又是一种着色模式；赫渥特本人又是一种着色模式，不过他的着色模式并没有完成。但这是由于赫渥特自已错误的交换了空不出颜色的连通链，而没有着色成功，而不是坎泊的颜色交换技术有什么错误。只所以坎泊对赫渥特图也不能4—着色，是因为坎泊的证明中，把赫渥特所说的这种构形的情况遗漏了，思想上根本就没有这种情况的存在。所以也就束手无策，只得承论他“弄错了”。但该图实际上用坎泊的颜色交换技术是可以4—着色的。董德周，雷明，张彧典,刘福等人,还有英国的米勒等,都可以在赫渥特原着色的基础上,用坎泊的颜色交换技术,对其进行4—着色，只是多用了一次交换而已。因此，对坎泊的颜色交换技术进行否定是错误的。
你的赫渥特裸图是从那里来的呢？是不是来自于许寿椿教授的《图说四色问题》一书呢？
乔工回复我：不是。是严宪邦给我的。
我继续回复说：
那为什么没有赫渥特的着色呢？（我只所以要这样问，是因为我从乔工口中知道严宪邦用的也是坎泊的颜色交换技术对四色猜测进行证明的，虽然我没有看到过严的证明。——雷注）
21日我继续回复：
你的证明应该说到了“2 证明和引理”一节末就可以结束了。也是能看明白的。检验第一个顶独立集是否是好独立集的方法也是正确的。但从“3”开始，你后面全是如何划分顶独立集的方法和对赫渥特裸露图划分顶独立集的验证。虽然篇幅很长，也可能都是对的，但你说得让读者看不明白，这是一个很大的毛病。总之，你要赢得更多的读者，还得把文字很好的修改一下。
在韩国，一些老外向你伸出了大姆指，主要是赞扬你攻四色难题的这种精神，并不都是认为你解决了四色问题。因为他们在很短的时间内，是不可能了解你的文章全文的。我认为你的主要观点是正确的，但要得到数学界的认可，却非常的不易。因为他们不但自已不解究，而且更不会注意爱好者的研究成果的。悲哀呀！也就是在这样的环境下才埋没人才的！现在科学技术界的环境太差了，不是在促进科学技术的发展，而是起着阻碍的作用。
赫渥特图是着过色的图，是人为的设计的一种构形。该构形是一个5—轮构形，有两条连通的A—C链和A—D链，该两链有共同的起始顶点2A，中途还有交叉的顶点8A。是不能只通过简单的一、两次坎泊交换，空出任何颜色给构形中的待着色顶点的。但图中却有一条通过4D和5C的环形的C—D链，把A—B链分成了互不连接的两部分。交换通过2A或8A的任一条A—B链，都可以使连通的A—C和A—D链断开，使构形变成可约的K—构形。再交换一次就可以空出一种颜色给待着色顶点。你直接对赫渥特未着色的裸图进行着色，是解决不了赫渥特所提出的问题的。你实际上只是对一个任意的平面图进行了4—着色。
3、用信交换意见：
26日我回复：
我把赫渥特图发至你的电子信箱里了，收到了没有？
所发赫渥特图如下：
赫渥特图

图1是赫渥特的原图（地图），图2是赫渥特地图的对偶图（极大图）。图中共用了四种颜色——红（r）黄（y）兰（b）绿（g），分别有一个面F和顶点V未着色。
图2中对于以待着色顶点V为中心的5—轮来说，有从轮沿顶点2到4的b—g连通链，也有从轮沿顶点2到5的b—y连通链，两链不但有共同的起始顶点2b，而且有交叉顶点8 b。该图是不能通过简单的一两次对角链的交换空出任何颜色给待着色顶点V的。但图中又有一条通过了5—轮的两个轮沿顶点4和5的环形的g—y链（如图3中的粗线边），把b—r链分隔成了互不连通的两个部分。交换任一个部分的b—r（5—轮的邻角颜色构成的邻角链）链，都可以使图中的连通的b—g连通链和b—y连通链断开，变得不再连通。这样图就成了坎泊的K—构形。再经过一次对角链的交换，即可空出颜色给待着色顶点V着上。

从8b交换b—r链，成为图4，图中已没有从轮沿顶点2到4的b—g连通链，也没有从轮沿顶点2到5的b—y连通链，是一个K—构形。
从顶点2交换b—g链，可空出b给待着色顶点V（如图5），若从顶点2交换b—y也可空出b给待着色顶点V（如图6），当然，从顶点4交换b—g，还可以空出g给V，从顶点5交换b—y，还可以空出y给V。


２7日我又发信如下：
乔工：
  在聂祖安所译《图论的例和反例》一书中描述赫渥特图不能４—着色时的原话是这样的：图中“有一条从2到4的b—g链，也有一条从2到5的b—y链，因此在任一条链上交换颜色都不能空出一种颜色给V。没有从1到4的r—g链，因此可以沿r—g链从1开始交换r和g。但这空不出r给V。因为与V相邻的3也是着r色。显然这可以变到一个y。但如果我们试图这样从3开始沿r—y链交换y和r，那么6和7都变成了r。这样就可能使得即使每次交换移动一个r，但仍不能同时移去两个r。”
  这好象说得有点理由，但仔细的分折，只所以第二次从顶点3交换r—y链时，不给移去第二个r，就是因为这时所交换的r—y链是连通的，当然就不能空出r来了。为什么原本从顶点3到顶点5的r—y链是不连通的，而现在怎么又变成了连通的呢，这是因为从顶点1交换了r—g链后，图中一些顶点的颜色发生了改变，新产生了从顶点3到顶点5的连通链r—y链。同样的，若先从顶点3交换r—y链时，也会新产生从顶点1到顶点4的连通的r—g链，再从顶点1交换r—g链时，也是不可能移去第二个r的。这就是为什么赫渥特图不可能连续的移去两个同色r的原因。
  赫渥特一味的想连续的移去两个同色r，可他没有注意到，他从顶点1交换了r—g链后，却新产生了从顶点3到顶点5的连通的r—y链这一事实，才得出了他的图不可约的错误结论。当赫渥特提出这一问题以后，当时的坎泊也是没有注意到这一种情况的，所以坎泊一下子也不可能对该图进行4—着色。所以也就只好承论他弄错了。这是自已对自已的一次嘲笑。
  要解决赫渥特图的问题，只能用我在上封信中所说的从顶点8或者从顶点2开始交换b—r链的的办法，先使赫渥特图变成坎泊的K—构形，再进行一次交换即可解决问题。
  若要用你的找图的顶独立集的办法，直接对赫渥特图裸图进行4—着色，也不是不可以，但却不能解决赫渥特所提出的问题。解决不了问题，仍然也只能把赫渥特图做为一个所谓的反例看待，四色问题仍然得不到解决。所以说，要解决四色问题，还必须要在赫渥特原着色基础上进行，方法仍然要用坎泊创造的颜色交换技术。
  人们都把赫渥特图说成是反例图，我不明白是那一方面的反例。首先，它不是四色猜测的反例，因为它是可以4—着色的，所以不是四色猜测的反例。其次，它也不是坎泊的颜色交换技术的反例，因为它在赫渥特原着色基础上进行的4—着色，仍然是用的坎泊的颜色交换技术，所以它也不是坎泊的颜色交换技术的反例。可为什么人们老是不放以前的错误结论，仍然把赫渥特图叫做反例呢。
  产生这一现象的原因，还是因为权威们不但自已不去研究四色问题，而且也不看爱好者对四色问题的研究成果。他们根本就看不起爱好者这些人，认为你们就不可能解决四色问题。但事实上并非如此，赫渥特图的4—着色，且是在赫渥特原着色基础上的4—着色，都是由爱好者们完成了的。他们就是不去看，就是看到了也装作没有看到，所以仍然认为赫渥特图是不可4—着色的，仍然认为它还是一个反例。但他们却不说是什么样的反例，只是笼统的说是反例就了事。
  可悲呀！

    雷明，2018，10，27
28日乔工发语音说：
雷工：我已经打开邮箱，看了看你那个东西，我认为你说的很有道理。四色定理本身就不存在什么反例，所谓的反例，就是你说的原因。他们没有找到这个方法。但是用这个换色法，来解决四色定理可以，对于其他的那个顶点着色不行。
我立即回复：你说的“对于其他的那个顶点着色不行”是指什么？能举出一个例子来吗？我已把你和我的微信交流整理了出来，并改正了我手写输入中的一些笔误而手机识别成别字、错字的地方。我准备把它发到《中国博士网》上去。同时也准备给你的邮箱里发一份。

雷  明
二○一八年十月二十八日整理于长安

    注:本文已于二○一八年十月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：