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求幂级数 ∑(n=1,∞)nx^(n+1) 的和函数,分析它的收敛发散情况及收敛半径

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发表于 2019-1-17 20:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是网友 永远 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:



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 楼主| 发表于 2019-1-19 23:06 | 显示全部楼层


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发表于 2019-1-21 01:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2019-1-29 06:43 编辑

主貼的问题最好用幂级数理论作统一的处理:对 t = lim sup |a_n|^(1/n),当 0< t < ∞
时令 R = 1/t, t = 0 时令 R =  ∞,  f(x) = ∑ a(n)x^n 在 (-R, R) 的任意闭区间上一致收敛,
可逐项求导, 导出幂级数有相同的收敛半径 R.

t = ∞ 时原幂级数仅在 x = 0 收敛。
发表于 2019-1-29 11:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 elimqiu 于 2019-1-29 03:41 编辑

参见我的帖子


另外,分析的基础是绕不过去的。给你一本好书
elinkage.    net/Downloads/Lecture_Analysis.pdf

其中级数部分已经上传:

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发表于 2019-1-29 11:44 | 显示全部楼层

这两章一句一句过关,每题都做,不懂就问,一定可以开通奇经八脉的。
发表于 2019-2-5 10:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 费尔马1 于 2019-2-7 17:36 编辑

楼主陆教授新年好!
学生用一个笨方法快速解出答案:
数列x∧2+2x∧3+3x∧4+……+nx∧(n+1)的前n项和是S=[x∧2-x∧(n+2)-nx∧(n+2)+nx∧(n+3)]/(1-x)∧2
当x的绝对值>1时,级数发散,x≠1;当x的绝对值<1时,级数收敛。
这时上式分子中的后面三项都趋近0,数列的所有项的和为S’,
S’=(x∧2)/(1-x)∧2
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发表于 2019-2-6 11:04 | 显示全部楼层
5楼的那些论断都是对的。
发表于 2019-2-6 11:22 | 显示全部楼层
永远 发表于 2019-2-5 20:11
请看5楼红字部分我的疑问,矛盾啊

|x| > 1 时级数发散有什么矛盾?
发表于 2019-2-6 12:59 | 显示全部楼层
永远 发表于 2019-2-5 21:25
红圈部分,x=1怎么解释

x = 1 时一般项不趋于 0, 级数发散是明显的。
 楼主| 发表于 2019-2-6 18:34 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子的摘要,详见下列网址:

http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗?

在前两期节目(文章见理解黎曼猜想(一)背景 | 袁岚峰和理解黎曼猜想(二)两个自然数互质的概率是多少? | 袁岚峰,视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488https://www.bilibili.com/video/av35082418)中,我们介绍了黎曼猜想的背景,即质数分布问题,以及研究质数分布的基本工具,即欧拉乘积公式。到目前为止,我们讲的都是欧拉的工作,正主黎曼还没出来呢!

那么黎曼究竟做了些什么呢?黎曼做了很多事情,他的基本目标就是对质数的分布获得一个明确的表达式。在这个过程中他做出了一个著名的猜想,就是黎曼猜想。与此同时,他的推导过程有一个副产品也变得非常著名,在普通公众中的名气甚至比黎曼猜想还要大得多。这个副产品是什么呢?就是下面这个式子:



全体自然数的和等于-1/12,你八成听说过这个说法,对不对?!

实际上,我的不少朋友不但是听说过这个说法,而且是真的相信了,真的是按照字面上理解这个说法。这样一来,就造成了严重的矛盾:自然数依次相加,不是应该越来越大,超过任何限制吗?怎么可能得到一个有限的值?更不可思议的是,怎么还能得到一个负值?正数加正数只可能得到正数,怎么会变成负数?

按照这样想下去,就越想越可怕了。难道常识都是靠不住的?难道数学是一门违反常识的学科?难道数学家是一群阴谋家,他们向大众隐瞒了许多可怕的秘密?……

更加令公众恐慌的的是,还有不少所谓的科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法就像这样:

“这个计算是数学中隐藏得最好的秘密之一,数学家之外没人知道这件事。”

“这是一个惊悚的结果。”

“这确实有悖常识,因为你内心总想让这个序列停下来,而一旦序列停止,你就再也没法理解这个结果。”

“在数轴的无穷远处,蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。”……

于是乎,我的不少朋友就来忧心忡忡地问我。用他们的话说,简直是世界观都要崩溃了!

好吧,我们就借这个机会,向大家讲清楚这个所谓“全体自然数的和等于-1/12”是怎么回事。还有许多跟它类似的说法,例如所谓“无穷多个1加起来等于-1/2”,“全体自然数的平方和等于0”,都是同样的道理,我们顺便可以一网打尽。

首先,来告诉大家基本的答案:你的常识是正确的,这些说法都是错误的,数学并没有推翻常识。数学家也不是阴谋家,数学家没有向你隐瞒任何东西。你完全不需要害怕,完全可以保全你的世界观和安全感。

然后,这些说法虽然是错误的,但也并不是毫无意义的胡说八道。只要改造一下,它们都可以变成有意义的。正如那句俗话所说:我觉得我还可以再抢救一下!

……………………

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