a,b 是两个三位数，有且仅有一位数字不同，且 a 可被 b 整除，这样的 (a,b) 有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

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共15组

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别忘了 125 : 625

luyuanhong

题  a,b 是两个三位数，有且仅有一位数字不同，且 a 可被 b 整除，这样的 (a,b) 有几组？

解  因为 a 可被 b 整除，且 a 与 b 不同，所以必有 a=nb ，其中 n 是一个大于 1 的正整数。

    a 与 b 有且仅有一位数字不同，这一位显然不可能是个位、十位，只能是百位数，所以必有

                  (n-1)b=nb-b=a-b=100k ，其中 k 是一个正整数。

    下面分情况讨论：

（1）当 n=2 时，b=100k ，这时可以有：

    b=100，a=200 ；b=200，a=400 ；b=300，a=600 ；b=400，a=800 。

（2）当 n=3 时，2b=100k ，b=50k ，这时可以有：

    b=100，a=300 ；b=150，a=450 ；b=200，a=600 ；b=250，a=750 ；b=300，a=900 。

（3）当 n=4 时，3b=100k ，b=100k/3 ，这时可以有：

    b=100，a=400 ；b=200，a=800 。

（4）当 n=5 时，4b=100k ，b=25k ，这时可以有：

    b=100，a=500 ；b=125，a=625 ；b=150，a=750 ；b=175，a=875 。

（5）当 n=6 时，5b=100k ，b=20k ，这时可以有：

    b=100，a=600 ；b=120，a=720 ；b=140，a=840 ；b=160，a=960 。

（6）当 n=7 时，6b=100k ，b=50k/3 ，这时可以有：

    b=100，a=700 。

（7）当 n=8 时，7b=100k ，b=100k/7 ，这时可以有：

    b=100，a=800 。

（8）当 n=9 时，8b=100k ，b=25k/2 ，这时可以有：

    b=100，a=900 。

    综合以上分析，可知符合条件的 (a,b) 共有 22 组。