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已知向量 a,b,c 满足 |a|=1,|b|=2,|c|=3,a+2b+kc=0 ,k>0,求 k 的取值范围

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发表于 2017-11-20 21:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


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发表于 2017-11-21 17:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2017-11-24 07:05 编辑

题:已知向量 a,b,c 满足 |a|=1,|b|=2,|c|=3,a+2b+kc=0 ,k>0,求 k 的取值范围。
思路:1,因a+2b+kc=0,故向量a、b、c共面。设a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),c=(3cosγ,3sinγ);
          2,由a+2b+kc=0得:cosα+4cosβ+3kcosγ=0,且sinα+4sinβ+3ksinγ=0,
              即9k^2=(cosα+4cosβ)^2+(sinα+4sinβ)^2
                           =17+8(cosαcosβ+sinαsinβ)=17+8cos(α-β);
          3,由上式有9≤9k^2≤25,即1≤k^2≤25/9,从而1≤k≤5/3。

 楼主| 发表于 2017-11-22 21:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2017-11-26 23:39 编辑

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答(其实与楼上的解答是一样的):




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