谈谈拉曼纽扬系数

大傻8888888

发表于 2009-9-25 23:08 | 只看该作者 回帖奖励
[watermark]    有一种这样的说法拉曼纽扬系数是印度伟大的数学家拉曼纽扬通过特异感觉功能发现的。浙江大学数论专家蔡教授甚至说拉曼纽扬是1000年才出现的数学奇才。哈代也非常崇拜拉曼纽扬，这是因为哈代有两个著名的公式，一个是哥德巴赫猜想计算公式，另一个是孪生素数计算公式，这两个计算公式都和拉曼纽扬系数有关。同时不论是陈景润的公式，还是王元的公式，还是网上的双筛法、两筛法都要用到拉曼纽扬系数。虽然大家都用拉曼纽扬系数，但是不知道拉曼纽扬系数的来历。一开始我也觉得1-1/(p-1)(p-1)=0.6601......这个系数有些莫名其妙。前几天我突然发现用网上大家都知道的用连乘积表示n以内素数的个数和用连乘积表示n以内孪生素数的个数。经过很简单的计算就可以得出哈代_李特伍德孪生素数公式以及偶数所含素数对个数的公式。过程之简单连我自己都大吃一惊。后来我想这也不是偶然的，因为这个问题我已经思考了很长时间，这个问题的关键是必须把2这个唯一的偶素数和奇素数隔离开分别计算，具体计算结果请看我9月21号的帖子“谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系”，为方便大家，摘要如下：
∵n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]=
n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)][1/2*3/4*5/6......(p-2）/（p-1)]
又∵[1/2*3/4*5/6......(p-2/p-1)]=[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}
这上一步是因为(1-1/p)*[1-1/(p-1)(p-1)]=(p-2）/（p-1)
而{3/4*15/16*35/36......[1-1/(p-1)(p-1)]}就是拉曼纽扬系数q=0.6601.....
所以n以内孪生素数的个数为：
2n*q{1/2[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)]}^2
根据素数定理π(n)~n/ln(n)
因为既然n*1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)] 和n/ln(n)都是n以内素数的个数
所以1/2*[2/3*4/5*6/7......(1-1/p)] ~1/ln(n)
则可以得出哈代_李特伍德孪生素数公式如下:
Z(n)~2n*q*[1/ln(n)]^2
这样关于哈代_李特伍德孪生素数的猜测就被证明了。
按照同样的方法也可以求出哈代_李特伍德关于偶数所含素数对个数的公式为：
D（n）~2n*q*[1/ln(n)]^2*Π（p-1/p-2)  其中最后括号的p可以被n整除。请大家注意在这样的对数里3+5被认为是两对，另一对是5+3。以此类推。
    可能有些网友说用连乘积表示n以内素数的个数公式以及用连乘积表示n以内孪生素数的个数公式也需要证明。实际上把欧拉函数连乘积中能被n整除的素数p扩大到小于等于根号n的素数，就可以得出比欧拉函数对素数个数的粗略估计更进一步的素数个数的值。同时我发现这个连乘积和用概率求n以内素数的个数出现的概率吻合。即使这还不算是证明。通过以上计算，用连乘积表示n以内素数的个数公式以及用连乘积表示n以内孪生素数的个数公式的正确应该是没有什么疑问了。
这是个老帖子，重新发不出去，只好复制发新帖子。其中也可以看出当时的幼稚和错误。希望对大家有所借鉴。

白新岭

我记得多年前大傻8888888先生就用连乘积推导出哈代公式。
还说，如果没有其他人在你以前推到过此公式，你就是第一人了（大概意思如此，不是你的原话）。
我多年前也说过，如果谁能真正理解拉曼纽扬系数，则可以得到很多系数和像哈代那样的公式。
在哈代公式中，主项可以变成偶数范围内素数个数的平方/范围值N，它表示对于以N为模，平均每类余数有多少个素数对（可能有好多人认为，奇数余数类位上不可能有素数对，那是素数2做的怪，我是说平均，没说那个余数位上有或没有，多还是少），哈代公式前边的系数则表示应分配的份数，也就是说本位数应该分到多少份，有了平均每份多少素数对，再乘以应分份数，则为该位数拥有的素数对。
这种解释对哈代的哥德巴赫猜想公式和孪生素数对公式同时成立。
我给出过，好多系数和公式，比起哈代的公式还复杂。（这里的复杂是指难易程度和分类多少，因为往往都是以简单而美丽）。
如果真正理解拉曼纽扬系数的数学意义和内涵，可以得到如相邻素数差为8的素数对的数量公式（它比起素数差为8的要难的多，因为不强调是否相邻，只说两个素数差为8的素数对与哈代的孪生素数对公式一样）。