赫渥特图的4—着色

雷明85639720

赫渥特图的4—着色
——一九九二年三月八日于西安空军工程学院
在陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会上
所作的的学术论文报告
雷  明
（二○一八年二月十二日重新整理）

当时作学术论文报告时，我并没有写成正式的论文，只拿了一张纸，上面画了一个赫渥特图。再无别的材料。首先我在黑板上用粉笔写了：1852年法朗西斯首先提出地图四色猜测；1879年坎泊宣布他对猜测进行了证明；1890年赫渥特构造了赫渥特图，指出了坎泊的证明有“漏洞”；至今四色猜测还没有得到理论上的证明是正确还是错误。
第一步：画图。
黑板中间，我可黑板的高度，画了一个赫渥特图（如图1），以让后面的人也能看清楚；

第二步：讲述赫渥特着色过程中的错误。
赫渥特首先从顶点1交换r—g链（如图2中的加粗边），得到图3。图3中从顶点3到顶点5的r—y链是连通的（如图3中的加粗边），这是在从顶点1交换了r—g链后新生成的从顶点3到顶点5的r—y连通链。

本来坎泊的颜色交换技术的条件就是，五边形的两对角的颜色构形的色链是不连通时，才能交换，才可空出颜色来给待着色顶点V。但赫渥特交换了一条连通链，当然是不能空出颜色来的。
第三步：讲述后人评术时的错误。
后人在评述时都说：再从顶点3进行r—y链的交换时，顶点6和顶点7都变成了r色（如图5）。所以只能移去一个r，而不能同时移去两个r。而没有看到赫渥特交换的是一条不能空出颜色的链。
在对该链进行交换的过程中，不光是顶点6和顶点7成了相同的颜色，而在交换过程的每一次换色中，每一个顶点（比如顶点6）在换色之前，都是与它前面已换了色的顶点（比如已由r色换成了y色的顶点3）是相同的颜色y；在换色之后(即由y换成r之后)，都是与它后面还没有换色的顶点（比如还没有换色的顶点7）是相同的颜色r。当把顶点7由r换成y后，顶点7又与后面未换色的顶点5是相同的颜色y。所以说不能只看到顶点6和顶点7的颜色是相同的，就认为不能同时移去两个同色r。而要看到是赫渥特交换的是一条连通链，七身就不可能空出颜色，所以才不可能同时移去两个r。

第四步：讲述正确的交换方法。
既然赫渥特的交换错了，那么就得要找正确的交换。我们发现赫渥特图中有一条从顶点4出发，最后到达顶点5，再返回到顶点4的环形的g—y链（如图6中的加粗边），把图中的r—b链分成了互不连通的两部分，交换其中的任一部分b—r链，都可以使两条连通的b—g链和b—y链同时断开（如图7。该图7是从图6的g—y环形链之外的顶点8交换b—r链的）。使b—g链和b—y链都成为可以交换的链。
    这一步交换，虽是没有空出颜色的，但却使两条连通的链断开了，所以我叫它断链交换。其本质与坎泊的空出颜色的交换是相同的，都是把某条链中各顶点的颜色进行了互换，所以也应是坎泊的颜色交换技术的一种应用。
第五步：给待着色顶点V着上四种颜色之一。
现在连通的链都已经断开了，为空出颜色的交换创造了条件，当然就可以进行坎泊的空出颜色的交换了，空出颜色给待着色顶点着上。从顶点5开始进行y—b链的交换，可空出y给待着色顶点V着上（如图8）。当然也可以从顶点4开始交换g—b链，也可空出颜色g来；从顶点2开始交换b—y或b—g，都可空出b来。


到此，我的报告就结束了，当我宣布报告结束时，教室里响起了长时间的掌声。这是我参加会议几天来第一次看到的场景。接着一连就是六、七个与会代表的发言，对我的着色给出了高度的评价。其中还有一位专门把地理学中的地图四色问题是如何转化为数学中的图论中的平面图的四色问题给代表们作了介绍（我因为时间短，加之参会者都是大学的数学教授，所以也就没有专讲这个问题）。
由于大家的发言如此积极而热烈，所以我就把我的最终要走“不画图，不着色”解决四色问题的想法，提了出来，也得到了与会者的好评。现在，我的这一目标已经达到了。

（后附赫渥特地图一个，请沟道先行（周明祥）用你的五行相克之说对其中的待着色区域F进行一下4—着色。）



雷  明
二○一八年二月十二日于长安

注：此文已于二○一八年二月十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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谢谢你！

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