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对称型构形的再研究

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发表于 2018-2-15 10:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 雷明85639720 于 2018-2-22 05:03 编辑

对称型构形的再研究
雷  明
(二○一八年二月十五日)

1、构形的对称性
BAB型5—轮构形的对称轴就是两条连通链A—C链和A—D链的共同起始顶点2A与两条连通链的两个末端顶点5C与4D的中点的连线,即五边形的最上顶点2A与最下一条边5C与4D中点的连线。两条连通链若相交叉时,其交叉顶点8A也位于该对称轴上(如图1)。
  
2、含有不对称环形链的构形
有经过构形1B—2A—3B的A—B环形链(a类H—构形)和经过构形4C—5D的C—D环形链(b类H—构形)的构形,一定是对称的构形,因为1B—2A—3B和4D—5C本身对于构形的对称轴就是对称的。其解决办法是:交换A—B环内、外的任一条C—D链,或者交换C—D环内、外的任一条A—B链,都可以使图变成K—构形而可约。有没有不对称的且含有A—B环形链和C—D环形链的构形呢,有。他们就是只有通过连通链A—C和A—D中一条的A—B环和C—D环(如图2和图3)。


这种含有非对称的A—B和C—D环形链的构形,在a,b,c三类H—构形中都是可能存在的。解决这类构形时,只要在A—B环内交换C—D链或在C—D环内交换A—B链,即可使A—C链或A—D 链之一条断开,图变成只有一条连通链的K—构形。这就是不对称的且含有A—B环形链和C—D环形链的构形的解决办法。
3、含有对称的非环形链的构形
我们以前研究的c类无环形链的构形对于构形的对称轴都是不对称的,因为图中的A—B链和C—D链都不是环形的。非对称的c类构形解决时,只要转型交换一次,图就变成可同时移去两个同色C或D的K—构形,或者变成有环形链A—B的b类H—构形。两个不同方向的转型交换,得到的结果虽是不同的,但也都是可约的。
有没有既对称又不含环形链的构形呢,也有(见图4和图5)。这类对称构形的特点是有一个由构形峰点2的颜色A和两个同色顶点1和3的颜色B构成的A—B链作为构形的对称轴,该对称轴又经过了两条连通链A—C和A—D的交叉顶点8A。在该对称轴的左右两侧,构形是绝对对称的。

3、1  对称的c类构形,交换的次数则要比非对称的c类构形多一些,一定要交换到使图变成非对称的c类构形时,再进行一次转型交换,即可变成b类H—构形。
对图4进行了一次逆时针交换后,得到一个CDC型的、仍有由构形峰点颜色D和两个同色顶点的颜色C构成的C—D链为对称轴的、该对称轴又经过了D—A链和D—B链的交叉顶点D的对称构形,但这个对称构形却是不严格对称的(见图6)。
对图4进行了第二次逆时针转型交换后,得到的是一个ABA型的非对称的c类H—构形(见图7)。
对图4进行了第三次交转型换后,得到一个DCD型的有对称性环形链A—B的b类H—构形(见图8)。


3、2  由于图4的对称的c类构形的严格对称性,所以它在进行了两个方向的转型交换后得到的都是同样的一种结果,都只得到了b类H—构形,而没有得到可以同时移去两个同色的构形(这一点读者可以自行去画图交换一下)。还有一个不同点就是这种构形在真正转型前有两次的交换是没有起到转型作用的。我们把未变成非对称的c类构形之前所进行的两次交换,叫做“不起转型作用的交换”,因为在交换的过程中,虽然构形峰点的位置和颜色也都在变化着,两个同色也一直在变化,构形仍然是属于对称的或非对称的c类H—构形,并没有变成非H—构形或其他类型的H—构形。

3、3  张彧典先生的第八构形中没有任何的环形链,所以张先生的第八构形是非对称的c类H—构形;图4是1935年一个美国人Irving Kittell构造的地图(即无割边的3—正则平面图。当时Irving Kittell与赫渥特一样,虽构造了图,但没有没有空出颜色给最外面的无限面染上)的对偶图,是对称的c类H—构形;图5是雷明构造的一个可以同时移去两个同色B的对称的K—构形。

3、4  同样的,图4的对称的c类H—构形,除了从B色顶点进行交换外,也可以从B色顶的对角顶点进行交换,也可得到同样的结果(见图9,图10和图11)。交换时也与从B色顶点交换一样,是沿一个方向进行的。所不同的是在这里的交换过程中,构形峰点的位置和颜色都在变化,但两个同色顶点的颜色却一直都是B,而并未变化。


4、H—构形与九点形构形的关系
   a类H—构形顶点减少到九点形时,就是有A—B环形链的九点形构形,图就变变成了可同时移去两个同色B的K—构形;b类H—构形顶点减少到九点形时,就是有C—D环形链的九点形构形,图仍然是b类H—构形:非对称的c类H—构形顶点减少到九点形时,就是没有任何环形链的九点形构形,图就变成了可有选择性的交换关于B的链,可同时移去两个同色B的K—构形;对称的c类H—构形顶点减少到九点形时,也就成了图5的可同时移去两个同色B的K—构形。

雷  明
二○一八年二月十五日于长安

注:此文已于二○一八年二月十五日在《中国博士网》上发表过。网址是:

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 楼主| 发表于 2018-3-12 16:49 | 显示全部楼层
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