Φ(m)函数

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Φ(m)函数

欧拉函数φ(m)

       在数论，对正整数m，欧拉函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
φ(m)= mΠ(1-1/p)（Π为连乘积符号，p为m的素因子）

Φ(m)函数
      
       在数论，对偶数m(m≥6)，函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q-2k或q+2k(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然，q＜m，q-2k不一定为正整数或q+2k不一定小于m。
若k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)（Π为连乘积符号，p为m的奇素因子）
若k与m的奇素因子不同，Φ(m)=m/2Π(1-2/p) （Π为连乘积符号，p为m的奇素因子）
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)   
（Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2)，p为k与m的共有奇素因子）
若k与m的奇素因子相同，Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k，如果二者之差为m的倍数，Φ(m)相等，q相同。

若m为奇数(m≥3)，函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q-k或q+k(k≥1)与m互质的正整数q的数目。
显然，q＜m，q-k不一定为正整数或q+k不一定小于m。
若k=2^n，Φ(m)=mΠ(1-2/p)（Π为连乘积符号，p为m的奇素因子）
若k与m的奇素因子不同，Φ(m)=mΠ(1-2/p) （Π为连乘积符号，p为m的奇素因子）
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=mΠ(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)   
（Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2)，p为k与m的共有奇素因子）
若k与m的奇素因子相同，Φ(m)=φ(m)
对于不同的k，如果二者之差为m的倍数，Φ(m)相等，q相同。

       在数论，对偶数m(m≥6)，函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且m+2k-q(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然，q＜m，m+2k-q不一定小于m。
若k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)（Π为连乘积符号，p为m的奇素因子）
若k与m的奇素因子不同，Φ(m)=m/2Π(1-2/p) （Π为连乘积符号，p为m的奇素因子）
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)   
（Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2)，p为k与m的共有奇素因子）
若k与m的奇素因子相同，Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k，如果二者之差为m的倍数，Φ(m)相等，q相同。


例如

1：m=30，2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3，

q不超过30与30互质的奇数对(q-2,q)个数为3，分别为：-1 1,11 13,17 19.

q不超过30与30互质的奇数对(q-4,q)个数为3，分别为： 7 11,13 17,19 23.

q不超过30与30互质的奇数对(q-8,q)个数为3，分别为： -7 1,-1 7,11 19 .

q不超过30与30互质的奇数对(q-16,q)个数为3，分别为： 1 17,7 23,13 29.

q不超过30与30互质的奇数对(q-32,q)个数为3，分别为：-31 1,-19 13,-13 19.

q不超过30与30互质的奇数对(q-64,q)个数为3，分别为：-53 11,-47 17,-41 23.

2k=2与2k=32，2k之差为30，q相同，分别为：1,13,19.

2k=4与2k=64，2k之差为60，q相同，分别为：11,17,23.


2：m=30，2k=6或2k=12或2k=24或2k=48或2k=3^N×2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=6，

q不超过30与30互质的奇数对(q-6,q)个数为6，分别为：1 7,7 13,13 19,11 17,17 23,23 29.

q不超过30与30互质的奇数对(q-12,q)个数为6，分别为：-11 1,1 13,7 19,17 29,-1 11 ,11 23.

q不超过30与30互质的奇数对(q-24,q)个数为6，分别为：-23 1,-17 7,-13 11,-11 13,-7 17,-1 23.

q不超过30与30互质的奇数对(q-48,q)个数为6，分别为：-47 1,-41 7,-37 11,-31 17,-29 19,-19 29.


3：m=30，2k=30或2k=60或2k为30的倍数，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=m/2Π(1-1/p)=φ(m)=8，

q不超过30与30互质的奇数对(q-30,q)个数为8，分别为：-29 1,-23 7,-19 11,-17 13,-13 17,-11 19,-7 23,-1 29.

q不超过30与30互质的奇数对(q-60,q)个数为8，分别为：-59 1,-53 7,-49 11,-47 13,-43 17,-41 19,-37 23,-31 29.


4：m=30，2k=14或2k=28或2k=56或2k=7^N×2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3，

q不超过30与30互质的奇数对(q-14,q)个数为3，分别为：-13 1,-7 7,-1 13.

q不超过30与30互质的奇数对(q-28,q)个数为3，分别为：1 29,-11 17,-17 11.

q不超过30与30互质的奇数对(q-56,q)个数为3，分别为：-49 7,-43 13,-37 19.


5：m=30，2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3，

q不超过30与30互质，30+2-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：1 ,13 ,19.

q不超过30与30互质，30+4-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：11 ,17 ,23.

q不超过30与30互质，30+8-q与30互质的奇数q个数为3，分别为： 1 , 7 ,19.

q不超过30与30互质，30+16-q与30互质的奇数q个数为3，分别为： 17 ,19 ,23.

q不超过30与30互质，30+32-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：1 ,13 ,19.

q不超过30与30互质，30+64-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：11 ,17 ,23.

2k=2与2k=32，2k之差为30，q相同，分别为：1 ,13 ,19.

2k=4与2k=64，2k之差为60，q相同，分别为：11 ,17 ,23.


6：m=30，2k=6或2k=12或2k=24或2k=48或2k=3^N×2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=6 ,

q不超过30与30互质，30+6-q与30互质的奇数q个数为6，分别为：7 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.

q不超过30与30互质，30+12-q与30互质的奇数q个数为6，分别为：1 ,11 ,13 ,19 ,23 ,29.

q不超过30与30互质，30+24-q与30互质的奇数q个数为6，分别为：1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,23.

q不超过30与30互质，30+48-q与30互质的奇数q个数为6，分别为：1 ,7 ,11 ,17 ,19 ,29.


7：m=30，2k=30或2k=60或2k为30的倍数，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=m/2Π(1-1/p)=φ(m)=8，

q不超过30与30互质，30+30-q与30互质的奇数q个数为8，分别为：1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.

q不超过30与30互质，30+60-q与30互质的奇数q个数为8，分别为：1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.


8：m=30，2k=14或2k=28或2k=56或2k=7^N×2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3，

q不超过30与30互质，30+14-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：1 ,7 ,13.

q不超过30与30互质，30+28-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：11 ,17 ,29.

q不超过30与30互质，30+56-q与30互质的奇数q个数为3，分别为：7 ,13 ,19.


      

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数论中，Π(1-2/p)的含义并不明确，本帖作了一点思考，暂且称为Φ(m)函数，不知是否可行？是否还有其他内涵？
望陆老师和网友指教！

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以m=210为例：

由欧拉函数φ(m)可知：
m=210，φ(m)=mΠ(1-1/p)=48
不超过210与2，3，5，7互素的奇数个数为φ(m)=48
显然，这48个奇数关于中心210/2=105对称分布。

由Φ(m)函数可知：
m=210，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=15
不超过210与2，3，5，7互素的奇数对(q-2,q)个数为Φ(m)-1=14，分别为：11 13,17 19,29 31,41 43,59  61,71 73,101 103,107 109,137 139,149 151,167 169,179 181,191 193,197 199.
210-197=13，210-199=11，
显然，这14个奇数对关于中心210/2=105对称分布，
但奇数对并非素数对，其中奇数对(167 169)不是孪生素数。

对于m=210k，与2，3，5，7互素的奇数关于中心210k/2=105k对称分布，
对于m=210k，与2，3，5，7互素的奇数对(q-2,q)关于中心210k/2=105k对称分布，
这就是所谓的互素数中心对称分布定理，
其实是欧拉函数φ(m)和Φ(m)函数的性质之一。

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Φ(m)函数即双筛比例式的来源，前提是p为m的奇素因子，筛出的也未必是素数。

如：
m=30，Φ(m)= m/2Π(1-2/p)=3，孪猜双筛比筛式为真值.
2n=32，Φ(2n-2)=(2n-2)/2Π(1-2/p)=3，哥猜双筛比例式为真值。

函数Φ(m)是否还有其它含义，有兴趣的网友可以讨论！

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如果欧拉函数φ(m)是素数定理之源，那么Φ(m)函数是哈-李猜想之源。
但欧拉函数φ(m)证明不了素数定理，Φ(m)函数也证明不了哈-李猜想。

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lusishun：《倍数含量筛法与恒等式的妙用》

对于偶数m，不论一筛二筛，还是倍数含量筛法，如果使用连乘积Π，筛子p应为m的素因子。如果不是，必然产生余项。舍弃余项，何谈妙用？

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lusishun：倍数含量筛法的问题

筛除2,3,5,7,11,13,17,19的倍数含量。得
500（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）（1-1/13）（1-1/17）（1-1/19）=85.512011211
由于舍弃余项，得出的是什么？未必是素数。
加强筛除2,3,5,7,11,13,17,19的倍数含量，过程是用4/7,13/36,1/3,1/5,1/7,1/11,1/13,1/17，依次代替1/2,1/3,1/5,1/7,1/11,1/13,1/17,1/19，得
500（1-4/7）（1-13/36）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）（1-1/13）（1-1/17）
=49.429562036
由于舍弃余项，得出的又是什么？未必是素数。

加强筛除2,3,5,7,11,13,17,19的倍数含量，如果可以任意加强，不如用1/2,1/3,1/3,1/5,1/7,1/11,1/13,1/17，依次代替1/2,1/3,1/5,1/7,1/11,1/13,1/17,1/19，得

500（1-1/2）（1-1/3）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）（1-1/13）（1-1/17）
=2/3×500（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）（1-1/13）（1-1/17）
=2/3×500Π(1-1/p)（p为小于√500的第二个素数）

即不超过500的素数π(500)＞2/3×500Π(1-1/p)
即不超过n的素数π(n)＞2/3×nΠ(1-1/p)（p为小于√n的第二个素数）
即使这个结论正确，只能是猜测，因为舍弃了余项，前提已经错误，推导无效。

同理，如此推导哥猜下限，也无效。

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看来你并不理解容斥公式，也不知道余项产生的原因。

对于偶数m，假如√m~m之间没有素数，由于舍弃余项，所谓的倍数含量筛法失效，加强之后仍然失效。当然这种假设不成立，因为数学家已经证明n~2n之间必有素数。但所谓的加强倍数含量筛法并不能证明n~2n（n＞1）之间必有素数。

对于大于4的偶数m，假如m/2~m之间的所有素数都可以表示为形如a+bk的素数（a+bk=m,b为不超过√m的素数），哥猜（1+1）个数可能为0。由于舍弃余项，所谓的倍数含量筛法结果＞0，已经失效，加强之后仍然＞0，同样失效。哥猜需要证明的就是排除这种可能。

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你的所谓论文，其实是假定哥猜已经成立，甚至假定哥猜（1+1）个数越来越多，然后再加强打折，打折之后仍然不能排除（1+1）个数为0的可能！

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lusishun：我这里的倍数含量是m/p,不取整的，您注意不是倍数个数

取不取整，是倍数含量还是倍数个数，因为舍弃了余项，结果都一样，无法筛出素数。