数学中国

标题: 先看费马大定理的3次幂 [打印本页]

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 15:20
标题: 先看费马大定理的3次幂
令a^3+b^3=m^k
其中，k不等于3的倍数
两边同×m^(3x)
需有3x+k=3y，此不定方程无正整数解，
所以a^3+b^3=c^3就无正整数解。
同理a^n+b^n=c^n就无正整数解。n大于2

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-14 17:40
令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程应该有正整数解；如果k=3则无解。（k=4,5,6，……暂不讨论。）

a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)，若右端是一个立方数，则必须有a^2-ab+b^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，3ab=0, ab=0；
当a和b都不等于0时，ab≠0，a^2-ab+b^2不是平方数，(a+b)*(a^2-ab+b^2)不是立方数，故a^3+b^3=c^3无正整数解。
费马定理能不能用上述方法证明？

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-14 17:49
令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数；两边同×m^(3x)

右端=m^(3x+k)，左端=a^3*m^(3x)+b^3*m^(3x)；右端指数是3x+k，请问老师左端指数3y中的y等于什么？

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 17:53

yangchuanju 发表于 2023-1-14 17:40
令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程应该有正整数解；如果k=3则无解。（k=4,5,6，…… ...

令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程肯定没有正整数解；您看看，3t+1不是3的倍数，
3t+2不是3的倍数，3t+3是3的倍数，

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 18:08

yangchuanju 发表于 2023-1-14 17:40
令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程应该有正整数解；如果k=3则无解。（k=4,5,6，…… ...

a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)，若右端是一个立方数，则必须有a^2-ab+b^2=m^3，a+b=n^3然后解这个方程组，判断解的情况？

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 18:12
求证，a^3+b^3=c^3无正整数解
令a^3+b^3=m^k，在这里，只能假设其等于m^k，
而不能假设其等于m^3，因为我们就是去证明原式等于一个立方数的。
其中，k不等于3的倍数
两边同×m^(3x)
需有3x+k=3y，此不定方程无正整数解，
所以a^3+b^3=c^3就无正整数解。
同理a^n+b^n=c^n就无正整数解。n大于2

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 18:53
本帖最后由费尔马1 于 2023-1-14 19:34 编辑

yangchuanju 发表于 2023-1-14 17:49
令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数；两边同×m^(3x)

右端=m^(3x+k)，左端=a^3*m^(3x)+b^3*m^(3x)；右 ...

a^3+b^3=m^k
左端=a^3*m^(3x)+b^3*m^(3x)
右端=m^(3x+k)=m^(3y)=(m^y)^3
但是，这是不可能的，因为那个不定方程无解。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-14 18:57

费尔马1 发表于 2023-1-14 17:53
令a^3+b^3=m^k 其中，k不等于3的倍数
如果k=1或2，方程肯定没有正整数解；您看看，3t+1不是3的倍数，
...

令a^3+b^3=m^k 如果k=1或2，方程应该有正整数解：
当a，b，m都是正整数时，a^3和b^3都是正整数，相加之和还是正整数；
对于a^3+b^3=m有无穷多组解；
对于a^3+b^3=m^2也是有正整数解的，其中a=1，b=2，1^3+2^3=9=3^2就是a^3+b^3=m^2的一组最小正整数解。

作者: 王守恩 时间: 2023-1-14 19:25
\(\ \ \ \ \ \ 若\ \ \ \ \ a^3+b^3=m\ \ \ 有解\)
\(\ \ (a*m)^3+(b*m)^3=m^4\ \ \ 成立\)
\((a*m^2)^3+(b*m^2)^3=m^7\ \ 成立\)
\((a*m^3)^3+(b*m^3)^3=m^{10}\ \ 成立\)
\((a*m^4)^3+(b*m^4)^3=m^{13}\ \ 成立\)
\((a*m^5)^3+(b*m^5)^3=m^{16}\ \ 成立\)
\((a*m^6)^3+(b*m^6)^3=m^{19}\ \ 成立\)

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 19:32

yangchuanju 发表于 2023-1-14 18:57
令a^3+b^3=m^k 如果k=1或2，方程应该有正整数解：
当a，b，m都是正整数时，a^3和b^3都是正整数，相加之 ...

需有3x+k=3y，此不定方程无正整数解，
我是说k=1，2时，方程3x+k=3y，无解

作者: lusishun 时间: 2023-1-14 19:40
先理解了程先生的解法，再理解证明.

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 19:44

lusishun 发表于 2023-1-14 19:40
先理解了程先生的解法，再理解证明.

鲁老师看透了学生的整体换元法了，谢谢！

作者: lusishun 时间: 2023-1-14 19:49
X^3+Y^3=Z^k（k不是3的倍数）
就有正整数解。若k是3的倍数，就没有正整数解。
程先生，解这类方程，有套方法。

程先生又用这套方法，去求k是3的倍数时，方程的解，求不出来（凑不出达到要求的指数），所以判断，无解。
（老鲁的理解）

作者: lusishun 时间: 2023-1-14 19:56
X^3+Y^3=Z^12.
就无解，
用解X^3+Y^3=Z^10
的方法，凑不来符合要求的指数，（也就是用辗转相除法，得不到那个“1”），判定无解。
（老鲁的理解）

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-15 08:39
丢番图方程a^3+b^3=c^k的解：
对于丢番图方程a^3+b^3=c^k，若无特殊说明其解皆指正整数解。
当k=1时，方程有无穷多组解，因为随意给定一组a和b，总能得到一个整数。
引申——哪些正整数可表示成两个立方数之和；哪些正整数能表示成2对、3对、4对……立方数之和？
此乃华林问题，放到一边不提。
当k=3时，方程无正整数解，此乃费马早已证明的；类推，当k=6,9,12……时方程都无解。

当k=2时，a^3+b^3=c^2是有解的，其正整数解只有有限组！
最小的一组是1^3+2^3=3^2，即a=1、b=2、c=3。
a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)
a^3+b^3若是一个平方数，则必须有a^2-ab+b^2=a+b，
a^2-(b+1)a+(b^2-b)=0
a={(b+1)±[(b+1)^2-4*(b^2-b)]^0.5}/2=(b+1)/2±(6b-3b^2+1)^0.5/2
令b=2，则a=3/2±1/2=2或1；
验：2^3+2^3=16=4^2，1^3+2^3=9=3^2。
令b≥3，平方根下的6b-3b^2+1小于0，方程a^3+b^3=c^2不再有正整数解，
据此方程a^3+b^3=c^2有二组正整数解（1,2,3）、（2,2,4）。

当k=4时，已经知道它有一组正整数解（2,2,2）了；
当k=5时，已经搜索到它有3组正整数解（6,3,3）、（3,6,3）、（8,8,4）。

无限——有限——无，这就是不同指数的规律。

作者: lusishun 时间: 2023-1-15 08:48

yangchuanju 发表于 2023-1-15 00:39
丢番图方程a^3+b^3=c^k的解：
对于丢番图方程a^3+b^3=c^k，若无特殊说明其解皆指正整数解。
当k=1时，方 ...

X^3+Y^3=Z^2
应该有无穷多组解吧

作者: lusishun 时间: 2023-1-15 08:58
本帖最后由 lusishun 于 2023-1-15 01:00 编辑

lusishun 发表于 2023-1-15 00:48
X^3+Y^3=Z^2
应该有无穷多组解吧

解：设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，
所以X=a·（a^3+b^3），
Y=b·（a^3+b^3），
Z=（a^2+b^2）^2.
（任给a，b一组值，就可以求出一组不定方程的解）

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-15 09:46

lusishun 发表于 2023-1-15 08:58
解：设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，

妙！
令a=3,b=5
a^3+b^5=27+125=152
x=3*152=456
y=5*152=760
z=(152)^2=23104
Z=（a^3+b^3）^2，非Z=（a^2+b^2）^2也！

x^3= 94818816
y^3= 438976000
z^2= 533794816
x^3+y^3-z^2= 0

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-15 10:18

lusishun 发表于 2023-1-15 08:58
解：设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，

设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，
所以X=a·（a^3+b^3），
Y=b·（a^3+b^3），
Z=（a^3+b^3）
就是X^3+Y^3=Z^4的解喽！
（任给a，b一组值，就可以求出一组不定方程的解）

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-15 11:07

yangchuanju 发表于 2023-1-15 10:18
设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，

老师解的对，这样的小指数用观察法就能解，当指数大时，可采用辗转相除法。
A^4999+B^4999=C^2999
由于4999、2999都是素数，所以此方程有正整数解。
令a^4999+b^4999=m
则有不定方程4999x+1=2999y
用辗转相除法解这个二元一次不定方程。
求出x、y即可。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-15 17:34
，，，，

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-15 18:59

费尔马1 发表于 2023-1-15 17:34
，，，，

网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时，b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8，……；见表中第2行的各个数字；
当k=2时，b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……；见表中第3行的各个数字；
5——5^2=4^2+3^2；3——3^2=2^2+2^2+1^2；2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2；4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2；……
当k=3时，b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……；见表中第4行的各个数字；
其中的1表示b^3=a1^3，最小底数b=1；0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b；6表示6^3=3^3+4^3+5^3；……
竖着看
当n=1时，b^k=a1^k之最小底数b都是1，见表中第2列；
当n=2时，只有b^1和b^2有解，其中2表示2^1=1^1+1^1；5表示5^2=4^2+3^2；以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k；见表中第3列；
当n=3时，见表中第4列数字3,3,6,422481，？，？，……
第1个3——3=1+1+1；第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2；6——6^3=3^3+4^3+5^3；422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4；……
各个问号“？”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解，但没有找到这样的数值，连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4；
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5；
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-16 18:47

yangchuanju 发表于 2023-1-15 18:59
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
-- ...

非常棒！
三项和及以上者高次不定方程个个有正整数解。
二项和不定方程有正整数解或无正整数解。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-17 08:20
本帖最后由 yangchuanju 于 2023-1-17 12:47 编辑

yangchuanju 发表于 2023-1-15 18:59
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
-- ...

22楼数据表的左上至右下之斜线
1,5,6,353,72，？，568,1409
1^1 = 1^1.
5^2 = 3^2 + 4^2.
6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3.
353^4 = 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4.
72^5 = 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5.
a(6) 为 0（无解）或大于 730000
568^7 = 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7.
1409^8 = 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8.

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