数学中国

标题: 定点 A,B 位于定直线 L 同侧，求点 P ，使得 PA+PB+PC 最小（PC 是 P 到 L 的距离） [打印本页]

作者: Ysu2008 时间: 2023-5-8 09:33
标题: 定点 A,B 位于定直线 L 同侧，求点 P ，使得 PA+PB+PC 最小（PC 是 P 到 L 的距离）
定点 A、B 位于定直线 L 同侧，求点 P，使得 PA+PB+PC 最小（PC 是 P 到直线 L 的距离）。
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作者: Future_maths 时间: 2023-5-8 10:37
首先，P应该在L上，然后PA+PB最小就可以了。

作者: Ysu2008 时间: 2023-5-8 11:25

Future_maths 发表于 2023-5-8 10:37
首先，P应该在L上，然后PA+PB最小就可以了。

一个反例。若 A(-3 , 5)，B(2, 4)，直线 L 为 X 轴，则 P 的位置大约在 (0.3660 , 3.0566) 处取得最小。
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作者: cgl_74 时间: 2023-5-8 11:38
这题是小学生的题目。我辅导我小孩搞过。

作者: Ysu2008 时间: 2023-5-8 13:23

cgl_74 发表于 2023-5-8 11:38
这题是小学生的题目。我辅导我小孩搞过。

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这可是竞赛题，竞赛题啊。怎么着，也要微个分吧。

作者: cgl_74 时间: 2023-5-8 13:43

Ysu2008 发表于 2023-5-8 13:23
这可是竞赛题，竞赛题啊。怎么着，也要微个分吧。

不好意思，我看错了。晚一点我看看我能否做出来。

作者: Nicolas2050 时间: 2023-5-8 19:41
将军饮马模型+求导

作者: cgl_74 时间: 2023-5-8 20:34
今天分析了一下，我没有找到几何作图方法找到最小值点。用代数方法，原则上可以求出最小值以及P点的位置。
我的解法不完整，草写了一个。
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作者: tmduser 时间: 2023-5-9 08:51
这个用费马点原理可轻松解决。

作者: luyuanhong 时间: 2023-5-9 09:09
楼上 tmduser 的解答已收藏。

作者: cgl_74 时间: 2023-5-9 09:58

tmduser 发表于 2023-5-9 08:51
这个用费马点原理可轻松解决。

感谢10楼提供的思路。
但是估计10楼要么理解错了费马点，要么理解错了题目。就跟我第一次扫了眼这题目，还以为挺简单。

作者: uk702 时间: 2023-5-9 10:02
有人用 Geogebra 来解，tieba.baidu.com/p/6709419571

作者: cgl_74 时间: 2023-5-9 10:19

cgl_74 发表于 2023-5-9 09:58
感谢10楼提供的思路。
但是估计10楼要么理解错了费马点，要么理解错了题目。就跟我第一次扫了眼这题目， ...

我先去学习下费马点再看看。

作者: tmduser 时间: 2023-5-9 10:36
理解不了就再补充一点

作者: cgl_74 时间: 2023-5-9 12:06

tmduser 发表于 2023-5-9 08:51
这个用费马点原理可轻松解决。

费马点本身描述挺清楚的。这个证明涉及到逻辑问题，我批注一下。
关键点是，C是动点，有无数个三角形ABC和无数个费马点。你如何在这些费马点中挑选出距离最短的那个？如何证明其最短？
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作者: tmduser 时间: 2023-5-9 12:55

cgl_74 发表于 2023-5-9 12:06
费马点本身描述挺清楚的。这个证明涉及到逻辑问题，我批注一下。
关键点是，C是动点，有无数个三角形ABC ...

我的逻辑一点问题都没有，因为既然你可以确定P是费马点，就可以根据费马点的性质确定\(\angle APC=\angle BPC=120\circ\)，就可以确定\(\angle MAP＝\angle NBA＝60\circ\)。

作者: cgl_74 时间: 2023-5-9 13:26

tmduser 发表于 2023-5-9 12:55
我的逻辑一点问题都没有，因为既然你可以确定P是费马点，就可以根据费马点的性质确定\(\angle APC=\angle ...

看懂了。C点是指构造法做出来的定点，非泛指。理解了你的解法！
多谢指教！

作者: 王守恩 时间: 2023-5-9 17:37
本帖最后由王守恩于 2023-5-9 17:41 编辑

\( 主帖图。定点A到定直线 L垂点为M, 定点B到定直线 L垂点为N,\)

\( 则\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

太简单了。我还是希望网友举出反例来。

作者: Ysu2008 时间: 2023-5-9 17:52
9# tmduser 网友的解法是正解。

补充一点点：
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作者: Ysu2008 时间: 2023-5-9 17:59

王守恩发表于 2023-5-9 17:37
\( 主帖图。定点A到定直线 L垂点为M, 定点B到定直线 L垂点为N,\)

\( 则\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{ ...

mathematica 那软件求解的？

作者: 王守恩 时间: 2023-5-10 07:31
\( 主帖图。定点A到定直线 L垂点为M, 定点B到定直线 L垂点为N,\)

譬如：AM=4,BN=8,MN=16

Minimize[{Sqrt[(4-x)^2+y^2]+Sqrt[(8-x)^2+(16-y)^2]+x,x>0},{x,y}]

复制代码

{6 + 8 Sqrt[3], {x -> 6 - 8/Sqrt[3], y -> 8 - 2 Sqrt[3]}}

\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

太简单了。我还是希望网友举出反例来。

作者: ccmmjj 时间: 2023-5-10 09:10
有一个微信公众号，专门讲这种东西。公众号叫“几何数学”，作者叫“司徒雅绘”，有一节专门讲这道题。

作者: cgl_74 时间: 2023-5-10 09:11
本帖最后由 cgl_74 于 2023-5-10 18:01 编辑

我先将8楼的代数方法补充完整，构成一个完整的解法。
为了严谨，我进一步刷新了解法。这个解法应该比较完整了。
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[attach]127462[/attach]

作者: 王守恩 时间: 2023-5-10 09:42
从简单算起(一个不严谨但感觉对的分析)。
1，正方形(1种情形)。AM=BN=MN=2, 最小距离=2+\(\sqrt{3}\)
2，长方形(2种情形)。AM=BN=2,MN=4, 情形1, 最小距离=2+2\(\sqrt{3}\) 情形2, 最小距离=4+\(\sqrt{3}\)
3，主帖: 直角梯形(4种情形)。
4，三角形(1种情形)。

作者: 王守恩 时间: 2023-5-10 15:58
\( 主帖图。定点A到定直线 L垂点为M, 定点B到定直线 L垂点为N,\)
譬如：AM=4,BN=8,MN=16

Minimize[{Sqrt[(4-x)^2+y^2]+Sqrt[(8-x)^2+(16-y)^2]+x,x>0},{x,y}]

复制代码

增加条件\(\frac{4 - x}{y}=\frac{8 - x}{16 - y}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)可以把"Minimize"去掉
化简可得\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

不能做太大多的题目,就得让自己长大起来。再举个例子。
4，三角形的费马点。已知角度a,b, 其中a=x+(a-x), 求PA+PB+PC最小距离=k
\(k=\frac{\sin(a)\sin(b+x+60)+\sin(b)\sin(a-x)+\sin(a+b)\sin(60-x)}{Sin(60)},
1=\frac{\sin(60-x)\sin(a-x)\sin(b+x+60)}{Sin(x)\sin(60-a+x)\sin[(b+x-60)}\)

作者: cgl_74 时间: 2023-5-10 18:09
这道题大家要讨论就讨论更清楚。我在23楼刷新了代数解法，应该是比较完整的了。
通过比较几何解法和代数解法，我有几点感受：
1、几何解法比较直观，技巧性强。费马点知识我学习到了，这个题的几何解法思路我也学习到了；但是如果我是第一次做这个题目，我还是没有把握做出来。毕竟技巧性在那里，我状态不好，或运气不好，就是想不到。
2、同样几何解法的缺点也很明显。严谨性不强，甚至会出现错误。因为几何解法依靠图像，依靠点，线的位置关系；稍有偏差结果就不一样甚至出错。比如楼上的用几何解法的，都存在很多漏洞。包括很多情况没有考虑，很多位置关系没有分析到。虽然技巧性体现出来，但是完整性和严谨性差很多。如果这个解法满分是10分，楼上的几何解法最多得5～7分。
3、代数方法就是繁琐，计算量较大，且要求计算准确。显得技巧性性不高甚至笨拙。但是好处是严谨，解法完整。特别是借助现代计算机技术，可能计算量根本不是问题。

作者: cgl_74 时间: 2023-5-10 18:20
简单举几个例子：看看如下的图形关系，如何用几何方法来解？这里还没有包括太复杂的数量关系，只是一个大概的位置关系。
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作者: Ysu2008 时间: 2023-5-10 22:38
本帖最后由 Ysu2008 于 2023-5-10 22:40 编辑

cgl_74 发表于 2023-5-10 18:20
简单举几个例子：看看如下的图形关系，如何用几何方法来解？这里还没有包括太复杂的数量关系，只是一个大概 ...

认真、严谨、一丝不苟。干得好！

一句话：有精神！

作者: 王守恩 时间: 2023-5-11 10:56

cgl_74 发表于 2023-5-10 18:20
简单举几个例子：看看如下的图形关系，如何用几何方法来解？这里还没有包括太复杂的数量关系，只是一个大概 ...

图1:将军饮马
图2:A--B--L
图3:A--B--L

\( 主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,\)

\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3}}\geqslant BN-AM\geqslant0\)

简单才是方法! 不能做太多的题目,就得让自己长大起来!!!

作者: 王守恩 时间: 2023-5-11 15:40
我凭直觉解题，解题只图好玩。请你举个反例？谢谢！

作者: cgl_74 时间: 2023-5-11 17:21

王守恩发表于 2023-5-11 15:40
我凭直觉解题，解题只图好玩。请你举个反例？谢谢！

你说得太自谦了！
我就随口说一个例子，不知道算不算反例。
A,B点都在L上，显然最短距离就是线段AB的距离。这个距离大于你列出的长度。当然题目要求是AB在L上，你可以取AB点无穷接近L，再把AB点距离拉长即可。

作者: 王守恩 时间: 2023-5-12 18:08
\( 主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,\)

若\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3}}\geqslant BN-AM\geqslant0\)

则\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

从简单算起。
1，正方形(1种情形)。AM=BN=MN=2, 最小距离=2+\(\sqrt{3}\)
2，长方形(2种情形)。AM=BN=2,MN=4, 情形1, 最小距离=2+2\(\sqrt{3}\) 情形2, 最小距离=4+\(\sqrt{3}\)
3，主帖: 直角梯形(4种情形)。
1有反例吗？2有反例吗？3有反例吗？

作者: cgl_74 时间: 2023-5-12 22:56
刷新我的解法。23楼的解法存在一些漏洞。
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作者: cgl_74 时间: 2023-5-12 22:59

王守恩发表于 2023-5-12 18:08
\( 主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,\)

若\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3} ...

你的这个结论，我认为是正确的。
对应我解法中，总结的第5条。这应该也是几何解法费马点可以应用到的场景。

作者: cgl_74 时间: 2023-5-12 23:08
一些案例图形
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作者: 王守恩 时间: 2023-5-13 09:56
这道题大家要讨论就讨论更清楚。
从 cgl_74 的解法出发，可以解决任意4边形。
想透了任意4边形，回头再来看正方形,长方形,直角梯形就会简单些。
任意4边形(我们取面积最大的那个)。2个相邻角+2个相邻角的对边=1道题目，
1个4边形可以有4道题目。1道题目找1个费马点，4道题目找4个费马点，我们取其中最小的费马点。

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