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标题: 日本数学家望月新一(Shinichi Mochizuki)可能已经证明了“abc猜想” [打印本页]

作者: luyuanhong 时间: 2017-12-21 13:44
标题: 日本数学家望月新一(Shinichi Mochizuki)可能已经证明了“abc猜想”
日本数学家望月新一(Shinichi Mochizuki)可能已经证明了“abc猜想”，

这是一个困扰了最优秀的数学人才长达数十年的难题。

望月新一的成就可能会“从根本上彻底改变数论”。（《朝日新闻》）

作者: lkPark 时间: 2017-12-21 23:09
既有且无的反科学理论？

作者: qwerty 时间: 2017-12-24 09:00
望月新一的老师法尔廷斯，是一个垃圾水平，学生也不会优秀：望月新一证明ABC猜想不可信

给安德鲁怀尔斯鉴定的法尔廷斯也是错误的

莫德尔猜想与费马大定理也不是等价关系，由莫德尔猜想推不出全称判断的费马大定理，所以，法尔廷斯推出特称判断的结论：费马曲线
[attach]63317[/attach]，（n>3）上只有有限个有理点。”只有有限个有理点” 是一个特称判断，表现形式为：“有些A是B”。而一个数学定理要求：“一切A是B”。所以，法尔廷斯的结论不是一个定理，他的工作只是一个有意义的探索，对于解决问题没有任何作用。我们看到，许许多多的错误结论获得了菲尔兹奖。

为什么法尔廷斯的结论是错误的？
原因是：我们首先需要知道有理点是 “有” 还是 “无”，法尔廷斯也不知道，他是说：我也不知道有没有这个有理点，我只能假定它，如果有，也是有限的。
现在明白了法尔廷斯的错误在哪里吗？
他犯了预期理由的错误：“假定费马曲线存在有理点”，就是引入了一个“加定存在”的非逻辑前提，这个错误使得后面的结论没有任何效力。
因为数学证明严禁引入非逻辑前提。
1，假定。只能用在否定结果的证明中，例如，欧几里得证明素数无穷多个。
假定a成立，可以推出b，得到c，c与a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
2，假定不能用在肯定的结论。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（这个就是预期理由的错误）
3，为什么“假定”只能用于否定的结论，而不能用于肯定的结论？
一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。

作者: lkPark 时间: 2017-12-24 20:52
本帖最后由 lkPark 于 2017-12-24 20:53 编辑

qwerty 发表于 2017-12-24 09:00
望月新一的老师法尔廷斯，是一个垃圾水平，学生也不会优秀：望月新一证明ABC猜想不可信

给安德鲁怀尔斯 ...

正确的科学理论是不能被证伪的，否则该理论就不能成立。你严肃一点行不行？

作者: lkPark 时间: 2017-12-24 21:01
本帖最后由 lkPark 于 2017-12-24 21:04 编辑

qwerty 发表于 2017-12-24 09:00
望月新一的老师法尔廷斯，是一个垃圾水平，学生也不会优秀：望月新一证明ABC猜想不可信

给安德鲁怀尔斯 ...

如果不能直接证明一个猜想是否成立则可以考虑用否定该猜想成立的假定反证间接证明，但是不是所有的猜想都可以被反证法加以证明，这要区分具体情况而不是依据证明的不同证明形式。

作者: qwerty 时间: 2017-12-25 18:39

lkPark 发表于 2017-12-24 20:52
正确的科学理论是不能被证伪的，否则该理论就不能成立。你严肃一点行不行？

你混淆了定理与理论的区别。
所有的科学理论必须是可以证伪的，如果某人宣称自己的理论不可证伪，必然是伪科学。
一个数学定理得到证明以后，一般不会被推翻。而一个数学理论是无法彻底证明的，因为，数学理论是没有边界的，是一个开放的。
例如，[attach]63367[/attach]
n=2时叫做勾股定理，n=3时，是欧拉证明的，也是一个定理，....。而n=2,3,4，....以致无穷，就不是定理，而是一个理论，所以是无法证明的。只能一个个逐一证明。

数学的层次：

第一个层次也就是最低层次，叫做数学事实，通常表述方式是：有些A是B。例如“有些相差2的奇数是一对素数”。

第二个层次叫做数学概念：
是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念，概念属性是普遍概念或者单独概念。表达概念的语言形式是词或词组。

科学概念，特别是数学概念要求更加严格，至少必须具备三个条件：专一性，精确性，可以检验。例如：”孪生素数“就是一个数学概念。

第三个层次叫做数学定理，是对数学概念添加了某种属性，或者说，数学事实经过了严密论证以后，才能成为一个数学定理。表述方式就是：“一切A是B”。例如“素数对有无穷多”。

第四个层次叫做数学理论，把方法，公式，公理，定理，原理，组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”，由埃氏筛法，公理（例如等量公理），定理（例如费马小定理），原理（例如抽屉原理，一一对应原理），公式等组成。数学理论是开放的，有无穷多个内容。

在逻辑证明中，第一个层次的数学事实无法突破到第三个层次，因为数学不承认数学事实，任何数学事实必须利用数学概念经过正确的演绎证明才能算定理。这是因为数学面对的是无穷，在证实过程中，即使有无穷多个事实a是b，还可能存在无穷个可能a不是b。

科学理论的基本要求就是可以证伪，否则就是伪科学。

作者: lkPark 时间: 2017-12-25 21:37

qwerty 发表于 2017-12-25 18:39
你混淆了定理与理论的区别。
所有的科学理论必须是可以证伪的，如果某人宣称自己的理论不可证伪，必然是 ...

你混淆了科学理论和科学猜想的区别。科学理论是由一系列概念、定义、判断、公理、定理形成的一系固定为真的体系，其中的公理、定理不可被证伪；科学猜想不属于公理和定理的范畴，它要么被证实要么被证伪，在其被证明之前，它们不能被称为科学理论，它们也包含有判断，该判断具有不确定性即该判断使终处于真么假的选择状态，只有科学猜想才可以被证伪。明白了吗？

作者: 被遗弃的草根 时间: 2017-12-26 08:53
早在2012年，日本数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）在个人网站上就公布了四篇论文，表示自己证明了abc猜想。其初稿长达512页，几经修改后已达到600多页，确实令人震惊。
对于数学家来说，检查望月新一的证明是否存在错漏的另外一个难题就是：要透彻理解望月那512页的ABC猜想的证明，还需要先弄懂望月新一关于远阿贝尔几何的750页的著作！全世界总共只有约50名数学家在这方面有足够的背景知识去通读望月新一这本远阿贝尔几何著作，更别提望月新一在证明猜想中建立起来的“宇宙際Teichmüller理論”了。到目前为止，自称“宇宙際幾何學者”的望月新一，是他自己创造出的宇宙中的独行者。
他的好友、牛津大学教授金明迥说：“读证明，对数学家来说，也是非常痛苦的。说服大多数代数几何学者去阅读需要如此之多基础知识的证明，更是一件难事。” 当然，这并不代表没有数学家在检查望月的证明，2012年10月，斯坦福大学教授Akshay Venkatesh函至望月，指出第3篇和第4篇论文中的错误。望月也迅速答复，承认了错误，并说明该错误对整体理论并无影响。

今年12月16日，日本媒体The Asahi Shimbun登出消息，望月新一关于abc猜想的论文现在在做最后的同行评议，如果不能查出什么问题的话，最早将于2018年1月发表在Ppblications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS)期刊上。该刊由京都大学数理解析研究所（Research Institute for Mathematical Sciences）主导，并由欧洲数学学会出版社负责出版的季刊。
然而，数理解析研究所正是望月新一所在的机构。RIMS期刊的主编也正是望月新一本人。也就是说，论文发表不仅发表在日本期刊，而且还是自己手下的期刊上。难怪已经有人提出，这样的操作存在利益冲突之嫌。

据日媒介绍，RIMS期刊邀请了外部专家对论文进行同行评议。

然而，究竟有多少人能真正理解这篇文章的内容呢？为了帮助其他人更好地参透望月新一的成果，其京都大学同事专门写了一篇内容进行解释。然而这篇文章的长度也是令人汗颜的300页。

尽管如此，究竟有多少评委能真正理解这篇文章的内容并找出其中的错误呢？？

另一方面，ABC猜想真的就那么完美，并毫无例外地成立吗？据我近年的研究、判断并证明：ABC猜想的提法本身就不严密，是一个摸棱两可的问题，也就是说，既可以证明它，又可以否定它。我的文章很简单，全文不到13页。但是，世界上部分主要数学杂志（包括中国的两个最主要的杂志英文版）的数论编辑都看过这篇通俗易懂的文章，既指不出其中的错误，又没有胆量及担当去同意这篇短文，往往以一些毫不相干的言辞委婉地推脱之，比如“由于积压大”、“没新意”、“建议提交到更适当的杂志”等等。关键是对这样实际不到10页的文章，不到半个小时就看完的，其中有的杂志一审甚至长达2~3个月才回复个“不适合”或“积压大”，因此，一两年很快就浪费过去了，现仍处于审核中。

由此看来，如果真地按照日本媒体The Asahi Shimbun登出消息去做了，这岂不再演一次数学丑闻吗？

作者: qwerty 时间: 2017-12-26 09:33

lkPark 发表于 2017-12-25 21:37
你混淆了科学理论和科学猜想的区别。科学理论是由一系列概念、定义、判断、公理、定理形成的一系固定为 ...

猜想是等待证明的命题，当然可以被证伪；理论是一个开放的体系，科学的理论永远在路上，必须留有被证伪的余地。

作者: lkPark 时间: 2017-12-26 10:04

qwerty 发表于 2017-12-26 09:33
猜想是等待证明的命题，当然可以被证伪；理论是一个开放的体系，科学的理论永远在路上，必须留有被证伪的 ...

理论被证伪么证实以及证实后的被证伪，这些只是人类意识的选择且和理论真假无关，可不必考虑所谓理论的将来被证伪。

作者: luyuanhong 时间: 2018-1-1 20:46
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-1-1 20:52 编辑

ABC 猜想浅说

- 卢昌海 -

由前三个英文字母拼合而成的 “ABC” 一词据说自十三世纪起便见诸文献，含义为 “入门”。这些年随着英语在中国的流行，该词在中文世界里也夺得了一席之地，出现在了很多图书的书名之中，大有跟中文词 “入门” 一较高下之势。不过，倘若你在数学文献中看到一个以 “ABC” 命名的猜想——ABC 猜想 (ABC conjecture)，千万不要以为那是一个 “入门” 级别的猜想。事实上，这一猜想在公众知名度方面或许尚处于 “入门” 阶段，以难度和地位而论却绝不是 “入门” 级别的。

在本文中，我们将对这一并非 “入门” 级别的猜想做一个 “入门” 级别的介绍。

一. 什么是 ABC 猜想？

在介绍之前，让我们先回忆中、小学数学的两个简单概念。其中第一个概念是素数 (prime number)。我们知道，很多正整数可以分解为其它正整数的乘积，比如 9=3×3， 231=3×7×11，等等。但也有一些正整数不能这么分解，比如 13， 29 等。这后一类正整数 (1 除外) 就是所谓的素数。素数是一个被称为 “数论” (number theory) 的数学分支中的核心概念，其地位常被比喻为物理学中的原子。与物理学中物质可以分解为原子相似，数学中所有大于 1 的正整数都可以分解为素数的乘积 (素数本身被视为是自己的分解)[注一]。第二个概念则是互素 (co-prime)。两个正整数如果其素数分解中不存在共同的素数，就称为是互素的，比如 21=3×7 和 55=5×11 就是互素的[注二]。

有了这两个概念，我们就可以介绍 ABC 猜想了。 ABC 猜想针对的是满足两个简单条件的正整数组 (A, B, C)[注三]。其中第一个条件是 A 和 B 互素，第二个条件是 A+B=C。显然，满足这种条件的正整数组有无穷多个 (请读者自行证明)。比如 (3, 7, 10) 和 (16, 17, 33) 就是例子。为了引出 ABC 猜想，让我们以 (3, 7, 10) 为例，做一个 “三步走” 的简单计算：

将 A、 B、 C 乘起来 (结果是 3×7×10=210)；

对乘积进行素数分解 (结果是 210=2×3×5×7)；

将素数分解中所有不同的素数乘起来 (结果是 2×3×5×7=210)。

现在，让我们将 A、 B、 C 三个数字中较大的那个 (即 C) 与步骤 3 的结果比较一下。我们发现后者大于前者 (因为后者为 210，前者为 10)。读者可以对上面所举的另一个例子——即 (16, 17, 33)——也试一下，你会发现同样的结果。如果随便找一些其它例子，你也很可能发现同样的结果。

但你若因此以为这是规律，那就完全错了，因为它不仅不是规律，而且有无穷多的反例。比如 (3, 125, 128) 就是一个反例 (请读者自行验证)。但是，数学家们猜测，如果把步骤 3 的结果放大成它的一个大于 1 的幂，那个幂哪怕只比 1 大上一丁点儿 (比如 1.00000000001)，情况就有可能大不一样。这时它虽仍未必保证大于三个数字中较大的那个 (即 C)，但反例的数目将由无穷变为有限。这个猜测就是所谓的 ABC 猜想[注四]，它是由英国数学家麦瑟尔 (David Masser) 和法国数学家厄斯特勒 (Joseph Oesterlé) 于二十世纪八十年代中期彼此独立地提出的。 “ABC” 这个毫无创意的名字——大家可能猜到了——则是来自把猜想中涉及到的三个数字称为 A、 B、 C 的做法，而非 “入门” 之意。

与数学猜想大家庭中的著名成员，如黎曼猜想 (Riemann hypothesis)、哥德巴赫猜想 (Goldbach conjecture)、孪生素数猜想 (twin prime conjecture)，以及 (已被证明了的) 曾经的费马猜想 (Fermat conjecture)、四色猜想 (four-color conjecture) 等等相比， ABC 猜想的 “资历” 是很浅的 (其它那些猜想都是百岁以上的 “老前辈”)，公众知名度也颇有不如，但以重要性而论，则除黎曼猜想外，上述其它几个猜想都得退居其后。

二. ABC 猜想为什么重要？

ABC 猜想有一个在普通人看来并不奥妙的特点，就是将整数的加法性质 (比如 A+B=C) 和乘法性质 (比如素数概念——因为它是由乘法性质所定义的) 交互在了一起。不过，数学家们早就知道，由这两种本身很简单的性质交互所能产生的复杂性是近乎无穷的。数论中许多表述极为浅显，却极难证明的猜想 (或曾经的猜想)，比如前面提到的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、费马猜想等都具有这种加法性质和乘法性质相交互的特性。数论中一个很重要的分支——旨在研究整系数代数方程的整数解的所谓丢番图分析 (Diophantine analysis)——更是整个分支都具有这一特性。丢番图分析的困难性是颇为出名的，著名德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 曾乐观地希望能找到其 “一揽子” 解决方案，可惜这个被称为希尔伯特第十问题的希望后来落了空，被证明是不可能实现的 (对这一点感兴趣的读者可参阅拙作希尔伯特第十问题漫谈)。与希尔伯特的乐观相反，美国哥伦比亚大学 (Columbia University) 的数学家戈德菲尔德 (Dorian Goldfeld) 曾将丢番图分析比喻为飞蝇钓 (fly-fishing)——那是发源于英国贵族的一种特殊的钓鱼手法，用甩出去的诱饵模拟飞蝇等昆虫的飞行姿态，以吸引凶猛的掠食性鱼类，特点是技巧高、难度大、成功率低，而且只能一条一条慢慢地钓 (象征着丢番图分析只能一个一个问题慢慢地研究)。

但是，与交互了加法性质和乘法性质的其它猜想或问题不同的是， ABC 猜想这个从表述上看颇有些拖泥带水 (因为允许反例) 的猜想似乎处于某种中枢地位上，它的解决将直接导致一大类其它猜想或问题的解决。拿丢番图分析来说，戈德菲尔德就表示，假如 ABC 猜想能被证明，丢番图分析将由飞蝇钓变为最强力 (乃至野蛮) 的炸药捕鱼，一炸就是一大片，因为 ABC 猜想能 “将无穷多个丢番图方程转变为单一数学命题”。这其中最引人注目的 “战利品” 将是曾作为猜想存在了三百多年，一度被《吉尼斯世界纪录》(Guinness Book of World Records) 称为 “最困难数学问题” 的费马猜想。这个直到 1995 年才被英国数学家怀尔斯 (Andrew Wiles) 以超过 100 页的长篇论文所解决的猜想在 ABC 猜想成立的前提下，将只需不到一页的数学推理就能确立[注五]。其它很多长期悬而未决的数学猜想或问题也将被 “一锅端”。这种与其它数学命题之间的紧密联系是衡量一个数学命题重要性的首要 “考评” 指标， ABC 猜想在这方面无疑能得高分——或者用戈德菲尔德的话说，是 “丢番图分析中最重要的未解决问题”， “是一种美丽”。

ABC 猜想的重要性吸引了很多数学家的兴趣，但它的艰深迟滞了取得进展的步伐。截至 2001 年，数学家们在这一猜想上取得的最好结果乃是将上述步骤 3 的结果放大成它的某种指数函数[注六]。由于指数函数的大范围增长速度远比幂函数快得多，由它来保证其大于 A、 B、 C 三个数字中较大的那个 (即 C) 当然要容易得多 (相应地，命题本身则要弱得多)。

除上述理论结果外，自 2006 年起，由荷兰莱顿大学 (Leiden University) 的数学系牵头，一些数学和计算机爱好者建立了一个名为 ABC@Home 的分布式计算 (distributed computing) 系统，用以寻找 ABC 猜想所允许的那些反例。截至 2012 年 9 月，该系统已经找到了超过 2300 万个反例，而且还在以每天几万个的速度稳定增加着。不过，与这一系统的著名 “同行”——比如寻找外星智慧生物的 SETI 以及计算黎曼 ζ 函数非平凡零点的 (现已关闭了的) ZetaGrid——不同的是， ABC@Home 是既不可能证明，也不可能否证 ABC 猜想的 (因为 ABC 猜想本就允许数量有限的反例)。从这个意义上讲， ABC@Home 的建立更多地只是出于对具体反例——尤其是某些极端情形下的反例，比如数值最大的反例——的好奇。当然，具体反例积累多了，是否会衍生出有关反例分布的猜想，也是不无趣味的悬念。另外， ABC 猜想还有一些拓展版本，比如对某些情形下的反例数目给出具体数值的版本， ABC@Home 对那种版本原则上是有否证能力的。

三. ABC 猜想被证明了吗？

如前所述， ABC 猜想的公众知名度与一些著名猜想相比是颇有不如的。不过， 2012 年 9 月初，包括《自然》(Nature)、《科学》(Science) 在内的一些重量级学术刊物，以及包括《纽约时报》(New York Times) 在内的许多著名媒体却纷纷撰写或转载了有关 ABC 猜想的消息，使这一猜想在短时间内着实风光了一番。促成这一风光的是日本数学家望月新一 (Shinichi Mochizuki)。 2012 年 8 月底，望月新一发表了由四篇长文组成的系列论文的第四篇，宣称证明了包括 ABC 猜想在内的若干重要猜想。这一宣称被一些媒体称为是能与 1993 年怀尔斯宣称证明费马猜想，以及 2002 年佩雷尔曼 (Grigory Perelman) 宣称证明庞加莱猜想 (Poincaré conjecture) 相提并论的事件。

由于这一原因，《南方周末》找我约写本文时，曾希望我能找认识望月新一的华人数学家聊聊，挖出点独家新闻来。可惜我不得不有负此托了，因为别说是我，就连《纽约时报》等擅挖材料的重量级媒体在报道望月新一其人时，也基本没能超出他在自己网站上公布的信息。

按照那些信息，望月新一 1969 年 3 月 29 日出生于日本东京， 16 岁进入美国普林斯顿大学 (Princeton University) 就读本科，三年后进入研究生院，师从著名德国数学家、 1986 年菲尔茨奖 (Fields Medal) 得主法尔廷斯 (Gerd Faltings)， 23 岁 (即 1992 年) 获得数学博士学位。此后，他先是 “海归” 成了京都大学 (Kyoto University) 数理解析研究所 (Research Institute for Mathematical Sciences) 的研究助理 (Research Associate)，几个月后又前往美国哈佛大学从事了近两年的研究，然后重返京都大学。 2002 年， 33 岁的望月新一成为了京都大学数理解析研究所的教授。望月新一的学术声誉颇佳，曾获得过日本学术奖章 (Japan Academy Medal) 等荣誉。

有关望月新一其人的信息大体就是这些，但读者不必过于失望，因为望月新一所宣称的对 ABC 猜想的证明虽引起了很大关注，离公认还颇有差距，因此目前恐怕还未到挖掘其生平的最佳时机。在 ABC 猜想并不漫长的历史中，这并不是第一次有人宣称解决了这一猜想。 2007 年，法国数学家施皮罗 (Lucien Szpiro) 就曾宣称过解决了 ABC 猜想。施皮罗的学术声誉不在望月新一之下，不仅是领域内的专家，其工作甚至间接促成了 ABC 猜想的提出。但是，人们很快就在他的证明中发现了漏洞。这种宣称一个重大数学猜想被证明，随后被发现漏洞的例子在数学史上比比皆是。因此，任何证明从宣称到公认，必须经过同行的严格检验。这一检验视证明的复杂程度而定，可长可短。不过对于望月新一的 “粉丝” 来说，恐怕得有长期等待的心理准备，因为望月新一那四篇论文的总长度超过了 500 页，几乎是怀尔斯证明费马猜想的论文长度的四倍！更糟糕的是，望月新一的证明采用了他自己发展起来的数学工具，这种工具据说是对以抽象和艰深著称的 1966 年菲尔兹奖得主格罗滕迪克 (Alexander Grothendieck) 的某些代数几何方法的推广，除他本人外，数学界并无第二人通晓[注七]。就连研究方向与望月新一相近的英国牛津大学 (University of Oxford) 的韩国数学家金明迥 (Minhyong Kim) 都表示， “我甚至无法对 [望月新一的] 证明给出一个专家概述，因为我并不理解它”， “仅仅对局势有一个一般了解也得花费一段时间”。美国威斯康星大学 (University of Wisconsin) 的数学家艾伦伯格 (Jordan Ellenberg) 则表示阅读望月新一的论文 “仿佛是在阅读外星人的东西” (reading something from outer space)。 2006 年菲尔茨奖得主、澳大利亚数学家陶哲轩 (Terence Tao) 也表示 “现在对这一证明有可能正确还是错误做出评断还为时过早”。

像望月新一那样宣称用自创的数学工具证明著名数学猜想的事例在数学界也是有先例的。 2004 年，美国普渡大学 (Purdue) 的数学教授布朗基 (Louis de Branges) 宣称证明了著名的黎曼猜想，他所用的也是自创的数学工具。不过布朗基在数学界的声誉和口碑均极差，加之年事已高 (七旬老汉)，其宣称遭到了数学界的冷淡对待 (对此事感兴趣的读者可参阅拙作黎曼猜想漫谈的第三十五节)。与之不同的是，望月新一却不仅有良好的学术声誉，精力和研究能力也尚处于巅峰期。用陶哲轩的话说，望月新一 “与佩雷尔曼和怀尔斯类似”， “是一个多年来致力于解决重要问题，在领域内享有很高声誉的第一流数学家”。有鉴于此，数学界不仅对望月新一的证明给予了重视，对他自创的方法也表示了兴趣，比如美国斯坦福大学 (Stanford University) 的数学家康拉德 (Brian Conrad) 就表示 “激动人心之处不仅在于 [ABC] 猜想有可能已被解决，而且在于他 [望月新一] 必须引入的技巧和洞见应该是解决未来数论问题的非常有力的工具”。戈德菲尔德也认为 “望月新一的证明如果成立，将是二十一世纪数学最惊人的成就”。

在这种兴趣的驱动下，一些数学家已经开始对望月新一的证明展开检验与讨论，比如著名数学讨论网站 MathOverflow 就已出现了一些有金明迥、陶哲轩等一流数学家参与的认真讨论。不过，检验过程何时才能完成，目前还不得而知，检验的结果如何，更是无从预料。证明得到公认固然是很多人乐意见到的，但一个长达 500 多页的证明存在漏洞也是完全可能的，当年怀尔斯对费马猜想的 “只有” 100 多页的证明，其早期版本就存在过漏洞，经过一年多的时间才得以弥补。不过，无论望月新一的证明是否成立，不少数学家对 ABC 猜想本身的成立倒是都抱有乐观态度，这一方面是因为能因这一猜想的成立而得到证明的很多数学命题 (比如如今被称为费马大定理的费马猜想) 已经通过其它途径得到了证明，从而表明 ABC 猜想与数学的其它部分有很好的相容性 (著名的黎曼猜想也有这样的特点)。另一方面， ABC 猜想还得到了一些启发性观点的支持，比如陶哲轩就从所谓的 “概率启发式理由” (probabilistic heuristic justification) 出发，预期 ABC 猜想应该成立[注八]。

当然，信心和预期取代不了证明。望月新一证明的命运将会如何？ ABC 猜想究竟被证明了没有？都将有待时间来回答。

注释

不仅如此，这样的分解还可以被证明是唯一的，这被称为算术基本定理 (fundamental theorem of arithmetic)。

对这一定义还有一个小小的补充，即 1 被定义为与所有正整数都互素。

为了简单起见，我们的介绍是针对正整数的，但 ABC 猜想其实也可以针对整数进行表述，两者并无实质差别。我们将后者留给感兴趣的读者去做。

“步骤 3 的结果” 因不含任何素数因子的平方，被称为 A、 B、 C 三个数字乘积的 “无平方部分” (square-free part)，简记为 sqp(ABC)——不过这一记号在某些文献中有不同含义，与本文含义相一致的另一种记号为 rad(ABC)。用这一记号， ABC 猜想可以表述为 “对任意给定的 n>1，只有有限多组 (A, B, C) 满足 sqp(ABC)n<C” (当然，别忘了 A 和 B 互素及 A+B=C 这两个条件)。这一表述通常见诸科普介绍，在专业文献中 ABC 猜想往往被表述为 “对任意给定的 n>1， sqp(ABC)n/C 的下界大于零”。感兴趣的读者不妨由 “科普表述” 出发，证明一下 “专业表述” (不过要提醒读者的是：相反方向的证明，即由 “专业表述” 证明 “科普表述”，并不是轻而易举的)。另外要说明的是，正文提到的所谓 ABC 猜想所允许的 “反例” 乃是 “科普表述” 特有的提法，意指满足 sqp(ABC)n<C 的那有限多组 (A, B, C)，在 “专业表述” 中是没有所谓 “反例” 的提法的。

这个关于在 ABC 猜想成立的前提下，费马猜想将只需 “不到一页的数学推理就能确立” (establishing in less than a page of mathematical reasoning) 的不无夸张的说法出自美国数学学会 (Mathematical Association of America) 的出版主管、著名美国数学科普作家彼得森 (Ivars Peterson)。不过，该说法虽然夸张，却并非完全 “忽悠”。为了说明这一点，并作为对如何由 ABC 猜想证明其它命题的演示，我们在这里介绍一个 “不到一页的数学推理”：假设费马猜想不成立，即存在互素的 (这点请读者自行证明) 正整数 x、 y、 z 使得 xk+yk=zk (k>2)。则由 [注四] 给出的 ABC 猜想的 “专业表述” 可知 (取 n=7/6)： sqp(xkykzk)7/6/zk > ε (ε>0)。由于 sqp(xkykzk) = sqp(xyz) ≤ xyz < z3，因此 z3.5-k > ε。显然，对所有 k≥4，只有小于 (由 ε 决定的) 某个数值的有限多个 z 能满足该不等式，而且当 k 大于 (由 ε 决定的) 某个数值后，将不会有任何 z 满足该不等式。这表明，对所有 k≥4，费马猜想的反例即便有也只能有有限多个，而且 k 大到一定程度后将不再有反例。因此，证明费马猜想就变成了证明 k=3 的情形 (这在两百多年前就已完成)，以及通过数值验证排除总数有限的反例。这虽然并非 “不到一页的数学推理” 就能确立的，比起怀尔斯的证明来毕竟是直截了当多了。倘若历史走的是不同的路径，费马是在 ABC 猜想被证明之后才提出的费马猜想，他那句戏剧性的 “我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来” 倒是不无成立之可能。

具体地说，截至 2001 年，这方面的最好结果是 exp[K·sqp(ABC)1/3+ε]/C > 1，其中 K 是与 ε 有关 (但与 A、 B、 C 无关) 的常数。

望月新一自创的那种数学工具被称为 inter-universal Teichmuller theory 或 inter-universal geometry。他在其网站上则称自己为 Inter-universal Geometer。

陶哲轩的 “概率启发式理由” 的要点是将数论命题——比如一个数是素数——视为概率性命题，并利用概率工具来猜测数学命题的成立与否。这种做法的一个例子是对强孪生素数猜想成立的猜测 (参阅拙作孪生素数猜想所介绍的有关该猜想的 “简单的定性分析”)。

作者: lkPark 时间: 2018-1-1 21:32

luyuanhong 发表于 2018-1-1 20:46
ABC 猜想浅说

- 卢昌海 -

有限范围的费马猜想反例是存在的，但命题本身的定义范围在于无限。

作者: wangyangke 时间: 2018-1-2 10:46
卢昌海，述而不作，承孔夫子之风，，，

作者: njzz_yy 时间: 2019-9-7 10:41
本帖最后由 njzz_yy 于 2019-9-7 10:54 编辑

本问题不复杂，不能搞定属于不得要领。
这类问题是民数兴趣的强项。民数就是来搞超级难题的，
搞简单问题，数论文篇数，那是官数浪费生命，赚点职称，小费的事，坛友们上呀！！！
谢谢陆老师辛勤耕耘，默默无闻付出！

作者: wangrozhong 时间: 2020-8-28 14:55
姑且不论望月新一证明“abc猜想”的正确与否，望月新一几十年磨一剑的研究精神几人敌。

作者: wangrozhong 时间: 2020-8-28 15:23
赞望月新一：望月心未了，长叹向长空。待君慢慢品，或恐是天宫。

作者: 被遗弃的草根 时间: 2026-10-31 20:54

标题“在ε>0的情况下ABC猜想处于摸棱两可的状况”的这篇文章，是我研究并发表在《印度数学研究杂志》“Indian Journal of Mathematics Research”（ISSN 2347-3045)，第6 卷，第一期 (2018)上的，同时，它让望月新一对ABC猜想的证明处于流产.

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