试解无穷大

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/16 11:47pm 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/05/16 02:10pm 发表的内容：
一个关于 n 的变量 f(n) 趋于无穷大， 是指对任意正整数 m 存在 正整数 M, 当 n > M 时 f(n) > m.  记作
lim f(n) = ∞  或简记为 f(n) →∞ (n→∞)
n→∞
这个定义蕴涵着以下几个结论：
...

（1）我认为无穷大 ∞应当是不可超越的最大数，它可以向任意大变化，但是，数值不再增加。否则，也没有资格叫∞， ∞类似莫比乌斯带，在它的表面上走（加或乘）沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是，他实际还是在原地。如果，一个数值具有这个特性，为什么不可以是无穷大∞呢，而且，更真实，我们写出的“无限大数”都是这样的数。
（2）我反复说过，无穷大 ∞ 不是自然数，是无穷数系的数，可以叫超越实数什么的。
（3）“没有无穷大自然数.(若不然， n 是无穷大，有是自然数，于是 n > n, 这是荒诞的)”
我一直认同这个观点，皮亚诺公理在这里也是可以存在的，但是，由于看问题的角度不同，在无穷大没有的实际意义。即使有“无穷大自然数”也不属于自然数了，属于无穷大数，不再遵循皮亚诺公理。

elimqiu

很认同楼主的见解。对作为极限‘值’的无穷大，应该是唯一的。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/16 05:43pm 发表的内容：
很认同楼主的见解。对作为极限‘值’的无穷大，应该是唯一的。

感谢先生指导和支持，很希望能合作发表论文。我不是专业数学，很难发论文。
我刚才查了一下资料，无穷小数0.0000....和无穷大数10000......等，都是超越数，应当是首次发现。也不难证明。

门外汉

无穷小数0.000……与无穷大数1000……，我听起来怎么感觉那么没有滑稽呢？

zhujingshen

下面引用由门外汉在 2011/05/17 05:53pm 发表的内容：
无穷小数0.000……与无穷大数1000……，我听起来怎么感觉那么没有滑稽呢？

请教，应当叫什么好呢

elimqiu

下面引用由门外汉在 2011/05/17 05:53pm 发表的内容：
无穷小数0.000……与无穷大数1000……，我听起来怎么感觉那么没有滑稽呢？

它们的定义是什么？

门外汉

我打错字了，是我看那个无穷小数0.000.....与无穷大数1000.....感觉很滑籍。
至于定义，得问楼主。

elimqiu

是啊。得问楼主

zhujingshen

无穷小数定义：
对于一个p进制纯无限小数
0.A1A2A3…An = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
           n→∞
当An>0,并且，A1到Am（n-m=常数）均为0，这个无限小数就是无穷小数。
如：0.000.....1（=1-0.99999.....）
由于An/p^n的n是无理数，所以，An/p^n是超越数，所以，无穷小数0.000.....1不是代数数，是超越数，是无限数，不是皮亚诺公理定义的数，在这里皮亚诺公理不适用。
无穷大数定义：
对于一个p进制纯无限大数
An……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
                n→∞
当An>0,这个无限大数就是无穷大数。
如：1000.....
由于An*p^n的n是无理数，所以，An*p^n是超越数，所以，无穷大数1000.....不是代数数，是超越数，是无限数，不是皮亚诺公理定义的数，在这里皮亚诺公理不适用。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/18 11:42am 发表的内容：
无穷小数定义：
对于一个p进制纯无限小数
0.A1A2A3…An = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
          n→∞
当An>0,并且，A1到Am（n-m=常数）均为0，这个无限小数就是无穷小数。
如：0.000.....1（=1-0.99999.....）
由于An/p^n的n是无理数，所以，An/p^n是超越数，所以，无穷小数0.000.....1不是代数数，是超越数，是无限数，不是皮亚诺公理定义的数，在这里皮亚诺公理不适用。

确定p进制纯无限小数的序列{An}也是确定的。所以不可能有【An>0,并且，A1到Am（n-m=常数）均为0】对任意大 n 成立的可能。 所以这个陈述有问题，不能定义‘无穷小数’。

无穷大数定义：
对于一个p进制纯无限大数
An……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
               n→∞
当An>0,这个无限大数就是无穷大数。
如：1000.....

同样的道理，这个陈述不自洽，无法定义无穷大数。其实楼主已经说了，这里的极限只能是 ∞， 与 {An} 没有太具体的关联。只要 {An} 有无穷多项为正，这个极限就发散到无穷大。