试解无穷大

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/18 00:48pm 发表的内容： 同样的道理，这个陈述不自洽，无法定义无穷大数。其实楼主已经说了，这里的极限只能是 ∞， 与 {An} 没有太具体的关联。只要 {An} 有无穷多项为正，这个极限就发散到无穷大。

非常感谢，没有明白您的意思，An>0的条件非常重要，改成以下叙述不知可否： 无穷小数定义： 对于一个p进制纯无限小数 0.A1A2A3…An = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+Am/p^m+…+An/p^n) n→∞ 如果n项的数值An>0,并且，A1到Am（n-m=常数 m0,那么，这个无限大数就是无穷大数。 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zhujingshen 在 时添加 -=-=-=-=- ∞是位数，An是位数的数值[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zhujingshen 在 时添加 -=-=-=-=- 如果位数数值An为0，∞的位数就没有用

elimqiu

要检验你的定义，就举几个例子。例如 1000... 是哪个序列确定的？
哪个序列又确定一个无穷小数？
我的了解（也许不对）是找不出这种序列。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/18 10:18pm 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/05/18 02:41pm 发表的内容：
要检验你的定义，就举几个例子。例如 1000... 是哪个序列确定的？
哪个序列又确定一个无穷小数？
我的了解（也许不对）是找不出这种序列。

无穷大数定义：
An……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
               n→∞
如：1....000.0=An……A3 A2 A1.0
An=1
A3=0 A2=0 A1=0

zhujingshen

无限小数
0.A1A2A3…An = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
          n→∞
如：0.000.....1=0.A1A2A3…An
A1=0 A2=0 A3=0 …An=1

elimqiu

A1=0 A2=0 A3=0 …An=1， 到底哪个 n 使得 An = 1?
其实没有这样的 n 对吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
{An} 作为一个序列，其每一项都是常数。

elimqiu

无穷小量如果存在，只能是变量。一般认为趋于0的序列是无穷小量。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/19 03:40pm 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/05/18 03:27pm 发表的内容：
A1=0 A2=0 A3=0 …An=1， 到底哪个 n 使得 An = 1?
其实没有这样的 n 对吗？-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
{An} 作为一个序列，其每一项都是常数。

以1-0.9999……为例，
1的序列{1，1，1，1，……}
0.9999……的序列
序列{0.9，0.99，0.999，0.9999，……}
1-0.9999……的序列
{0.1，0.01，0.001，0.0001，……}
可以看到最后一位An为1，在无限小数的定义中也写出了An，是一个常数，只是这是无穷位数的数，无法写出，如果，相信有无穷大，有实无穷，这An就是最后的一个常数。
0的序列为{0，0，0，0，……}
这和1-0.9999……的序列是有区别的，这种区别就是0和无穷小的区别。[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 zhujingshen 在 时添加 -=-=-=-=-
“相信有无穷大，有实无穷”
可能属于非标准分析。
和标准分析相比，两者之间应当是互通的，不矛盾的。
标准分析中，无限小数的定义中也有n→∞，
你在前面也承认了∞是定数。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/19 00:06pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/05/18 03:43pm 发表的内容：
无穷小量如果存在，只能是变量。一般认为趋于0的序列是无穷小量。

我还是认为无穷小量如果大于0，就不是无穷小量，只有等于0，才是无穷小量，等于0的数还往哪里变。变得小于0吗，等于0的数完全可以认为是定值。
在微积分中，一个变量趋于0，是另一回事，情况不同，是大于0的数变成0。
无穷小数的0.0....后面还有无穷的0，已经精确等于0，每一位都是固定不变的，是定值。
小数的序列是固定小数的一种变量表示法，能揭示无穷的一些东西，从前面的例子，可以看出无穷小数中，存在着不是0的数值。不能因为序列的变量表示法，就说这是变量。

zhujingshen

对无穷小数定义再做一些修改，欢迎指教。
无穷小数定义：
对于一个p进制纯无限小数
0.A1A2A3… = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
           n→∞
如果，从A1到任意可数位数上的数字均为0，而靠近无限∞位数上有大于0的数字，比如，假定这里An>0,这个无限小数就是无穷小数。
如：0.000........（=1-0.99999.....）,减剩下的一点点数，应当在无限位数中。
假定An>0,由于An/p^n的n是无理数，所以，An/p^n是超越数，所以，无穷小数0.000.....不是代数数，是超越数，是无限数，不是皮亚诺公理定义的数，在这里皮亚诺公理不适用。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/19 06:18pm 发表的内容：
对无穷小数定义再做一些修改，欢迎指教。
无穷小数定义：
对于一个p进制纯无限小数
0.A1A2A3… = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
             n→∞
如果，从A1到任意可数位数上的数字均为0，而靠近无限∞位数上有大于0的数字，比如，假定这里An>0,这个无限小数就是无穷小数。

如果从A1到任意可数位数上的数字均为0，那么必有极限
0.A1A2A3… = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n) = 0
             n→∞
再一次说明在标准数系中不存在这种‘无穷小数’。