苏步青的文章——数学之女皇

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今天看苏步青的诗歌.文集《数与诗的交融》，虽有一些历史证词可供参考，如曾到台湾接管台湾大学，不过整体没有可读性。只有这篇数学之女皇算得上早期的数学科普及历史介绍，可能对现代一些人的数学精神的形成有一定的影响。鄙人学数半生，虽知此文不过是数学家中的文学者所为，内容既未见精准，文采亦不过乡歌。然聊备一帖，以存其文，于如叶公者可以好焉。
数学之女皇
  “数学之女皇”之称呼，由来已久。当十八九世纪之间，大数学家兼物理学家C.F.高斯氏对于数论所用之称呼。高斯，德籍，大才逸群，白幼聪颖。甫八岁，入问其自然数目一至二十之和能算否，岂意彼于数秒间即可答，不爽丝毫;初疑为宿构，继试一至一百之和，仍能瞬息作答。乃大惊，问其故，盖渠已能证明目今代数学中1至n之自然数和公式S＝n(n+1)/2。即首尾二数和之半数乘项数是也。及长，爱此尤笃，为数学界贡献极多，鉴于数之神奥庄伟与可爱，乃首创此名数学之女皇(Die Koingin der Mathematik)。

    人皆可近此女皇，一人之能领悟者，人人皆可以接受之。试推溯其发展史，不亚于医学;迄今已历二千余年，不为不久。盖自然数乃物之常序，接触频繁，理应最初发达。虽然，至今尚有野人，未识三为何物。认识三以上之自然数，尤为困难。据说三字英文为(Three)法文为(Trois)皆由树字(如Tree)而来，阅三之数目，已非野人脑力所能记忆，非志于树殆有遗忘之虞云。据实地考察，可知动物对于数之观念究竟有如何程度。乌鸦能知一及二，惟三则不能。昔日欧洲某城堡供其国王昼间办公之场所，群鸦巢其卜:朝出暮归，归时必佚城堡中人归尽而后下，恐人加害十己也。某日，国王令一人伏巢旁，
此人不出，群鸦不下，二人伏巢旁，出一人，鸦知留一人，仍未下巢;继而三人伏，复，人相继出，鸦以为人尽而下。由此观之，鸟鸦必意以为“二”“三”无别也.

    鸡之智慧，不过于鸦，亦勉识“一”“二”而已。虽然，不可一概而论，除人以外，动物亦有智慧惊人者，爰举一二明之。一为蜂，放散二三十里之外，能寻返原巢不误。今试携幼孩赴华家池，欲令自返校本部，恐亦大难事矣，而蜂之下瞩，因茫茫一片，东西南北，无所区别，而能归巢不误者，岂非怪事?此无他，识高低方位辨时间风速有以致之。不宁惟事，测其巢，均作六面体，大小毕同，角度不变。吾人用精确仪器测算，始知彼等久悟微积分，一定容积而以量小材料完成其巢，惟角度不免犹有数秒之差，其后重测，始知错误乃在人而不在蜂。彼仅用肉体工作耳，竟准确如此，能不骇人！二为蚁，虽多数未能效蜂之凌空翱翔，然在大地中识途能力，仍足与蜂并提而论。不独如此，其移物及地道构筑，尤值注意。彼等能利用重力下坠时，所费时间为最小地道线，经近人研究之结果，与名人应用高等微积分中变分学所得者相符合。

    数学广泛，学也无涯，失此知彼，不足自馁。人类究竟为万物之灵长，在数学界中自有其独得之处，足以傲万物者在!在自然数中，有顽固不灵，舍本身及1外，无它数能整除尽净者，如2、3、5、7、11等等，定名曰“素数”。素数之个数为无限，固属意料中事，证明如何分欧几里得在二千年前，已得此定理之证明。试申述之，设素数只有有限个，则其中必有最大者，试以P记之。若然，则1×2×3×……×P+l亦必为一质数，且大于p。于是前后矛盾，而知素数个数必为无限。

    高斯之爱，数论而名之为“女皇”殆非偶然。高斯非仅精于数，且能擅长于文，语多幽默。其中学时代数学业师某逝世，高斯为作传记，赞其师为当世数学界中之最大文学者，且为文学界中之最人数学者。
    高斯之前有名哥氏者{ E .Goldbach }，于公元1742年6月7日，致函该时名数学者欧拉(Euler通译尤拉)，内开:任何偶数，必为二质数之和、例如606为60l及5二数之和。
欧氏回信曰:可能如此，然我无法证明。盖试之则合，证之不易，乃名之曰“哥德巴赫预测定律”。其间经过至二百余年之久，迄未解决。十余年前苏联一青年Schnirelmarnn，于十七八岁作工某纺织工厂。彼虽未受高等教育，于数颇感兴趣，某日以其苏文写就之方法，证明“任何数必可以有限个素数之和表示”，刊载于本厂日报之尾。然而天才无须宣传，英雄决无埋没之理，此刊物偶为当时数学大家兰岛Landau(彼为当时发明六O六富商之惟一女婿，利用其优越地位，每日自晨七时阅书至晚七时整，数十年研究，孜孜不倦如一日)。所获，大为惊叹:乃将“有限”二字，修改为“最多不过六十九个，以德文公之于世。继兰岛而有G.Ricci氏，又将‘’六十九”改成“六十八”。而近年苏联国家科一学研究院院士Ｖinogradov竟完全解决此二百年来之难问题。近日可用数页之短文，证明“任何奇数均可以质数三个之和表示之”。

    微积分之发明者为牛顿及莱布尼兹二大师，吾人所周知。惟法人，则谓系法国大数学家法尔玛(Fermat)所创造。法氏对于数论发明甚多，例如设x为素数p不能除尽之任何数，则x^(p-1)-1必为p之倍数。提及此人此事不能不追念往昔国人之光荣，盖一国之光荣，非仅系于能所坚舰利炮服天下，实有赖于学者:国无人才，斯为大耻。我国科学落后，无可讳言，然不能以此抹去古人一切光辉事迹。例如上述法氏定理中p不等于2时，即(2^(p-1)-l)÷p=整数，在公元前五百年左右，已为中国所知道。法尔玛氏固近世伟人之一，然错误亦一如常人，在所不免。彼日记之一角，曾有如下记载:Fn=2^(2^n)+1=素数.F0为3,F1为5, F2为5,F3为257, F4为65537，均为素数(由希腊人Eratosthenes筛选知之)。其后数字过繁，人人均以为准确无疑，谁知欧拉氏最初发现F5=2^32+1=641×6700417之结果，始知一般Fn未必为素数。为学之道，不能妄自臆度，在准确证明之前，不能置信。
    某日，法氏阅Diophantus所著的之数论，偶见书中尚有空白处，随笔写下定理:设n大于2，则不定方程扩x^n+y^n=z^n无整数解。并注明证明决非余白所能罄书云，此法氏预测通称“法氏最后定理”，至今三百年尚不知其成立与否。欧拉氏证明n等于3或4时定理成立。欧拉生于瑞士，受俄国之聘，久居
宫闱，硕学鸿儒，举世钦仰，闻其证明此二特殊情形，在双目失明之后。德人昆麦（kummer）曾继欧拉作极好研究，然此“谜之定理”依然不得证明。
    又如(3，5)，(11，13)，(17，19)……，二素数之差为2，则名之曰双生素数。然则此双生素数有限否？吾人虽可猜其为无限，然亦无法证明之。
   　古来众知素数，比整数全体数目较少，。试以π(x）表小于x之素数个数。  高斯早已欲预料π(x）与x/logx有同一程度，而终无法证明，至Hadamard氏始见成功，即所谓“素数定理”，亦数学中值得大书而特书之一事也。

    世上未知事多矣繁矣，而吾人生命与精力，毕竟有限。今将由本题转入研究之道，作一结束。吾人决不可抄袭他人方法:作为研究盖如此，则吾人所能得者，他人亦必可得之矣!然而又不能妄想，放矢无的，盲目吠日，必将闹成大笑话。故吾人先宜虚心下学，把以往古今心得，全体接受，融会贯通，一如吾人之饮食然，必下嘴消化，变血变肉，发挥成能而后可。不然消化不良，非仅无能可得，容或因此伤命，能不惧哉!学问得之不易，女皇可亲亦难，决非三脚二步，一蹴能就;然亦不必心怯。只要努力，必有成功。深冀诸位暇时，三思法尔玛最后定律苟得成就.国人咸有荣焉。诚如管子所言:

思之思之，不得。鬼神教之。非鬼神之力也，其精气之极也。

——————————本人为此文打字编辑半天，花费不少心力。版主莫删。

lkPark

用文言文自限表意自废武功有何意义和高尚？

jzkyllcjl

理论与实践的关系是“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一个循环的内容，都比较地进到了高一级的程度”的关系。
数学理论中，虽然需要有理想的绝对准概念，此时使用理想极限与理想实数 与e可以得到理想导数与三角函数与对数函数的级数表达式，但又必须知道： 这些理想极限、理想实数值具有无法达到的性质，无穷级数的无穷项和具有无法计算的性质，实数的对数值与三角函数的函数值，通常都具有无法绝对准求出，近似计算也是必须的性质。理想的绝对准与能达到的近似之间具有相互依存相互斗争使数学理论得到发展具有生命的必要过程。理想极限与全能近似极限都依赖于“有延续法则而且可以无限延续下去的假设（或称公理），都依赖于无法写到底的无穷数列；但又必须承认无限延续是永远达不到的操作，必须在适当时候停止这个操作而取其足够准近似值”。这说明：研究与建立数学理论时，既可以提出理想性的达不到假设与理想数学元素，但又必须知道其理想性与不可达到的必须使用近似方法的性质。而且，由于现时数量的大小本身具有可变性，足够准近似方法的使用虽然不是很完善，但是符合实践的。

lusishun

>>>>又如(3，5)，(11，13)，(17，19)……，二素数之差为2，则名之曰双生素数。然则此双生素数有限否？吾人虽可猜其为无限，然亦无法证明之。

证明了，还有您的功劳，
见汉斯出版社的《倍数含量筛法与恒等式的妙用》，
免费下载

lkPark

jzkyllcjl 发表于 2018-2-23 10:44
理论与实践的关系是“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一个循环 ...

无限延续是有限数目不断变大导致的，它来自于静无限，而静无限导致的结果不是一个计算过程，比如无穷常减级数的无限和0、333333333……………＝1/3，该和不是一个有限和，但人们可求该级数的有限和，而这是在逻辑上可以完成的。有限数目可无限变大，但它仍然是有限数，所以康托尔通过自然数的连续可数性妄图通过有限数的无限增大来到达无限数的做法是错误的。

jzkyllcjl

lkPark 发表于 2018-2-23 03:16
无限延续是有限数目不断变大导致的，它来自于静无限，而静无限导致的结果不是一个计算过程，比如无穷常减 ...

对！ 你说的正确。康托尔的无穷集合理论与“数学必须肯定实无穷”的观点必须纠正，现行数学理论应当改革。