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【日本国供题】√2+ √5+ √1990,请证明这个式子算下来的结果为无理数

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发表于 2019-7-12 19:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2019-7-12 19:42 编辑

1990,  IMO,  预选题
发表于 2019-7-13 10:19 | 显示全部楼层
提示:假设是有理数,令√2+ √5+ √1990=q/p (q,p∈N+),则(√2+ √5)p = q-p√1990,....
√10(p+q√119)=(1983p^2+q^2)/(2p).再平方得
p^2+119q^2+2pq√119=(1983p^2+q^2)^2/(40p^2)
即2pq√119=(1983p^2+q^2)^2/(40p^2)- p^2 - 119q^2.
左边是无理数而右边是有理数,故矛盾。
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发表于 2019-7-13 12:58 | 显示全部楼层
无理数的四则运算还是无理数。
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 楼主| 发表于 2019-7-13 13:41 | 显示全部楼层
xfhaoym 发表于 2019-7-13 12:58
无理数的四则运算还是无理数。

谢谢XF老师!数论方面,我没有触及,这方面,我知识很少
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 楼主| 发表于 2019-7-13 13:41 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2019-7-13 10:19
提示:假设是有理数,令√2+ √5+ √1990=q/p (q,p∈N+),则(√2+ √5)p = q-p√1990,....
√10(p+q√1 ...

谢谢波斯,我争取好好研读、弄懂
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发表于 2019-7-15 08:44 | 显示全部楼层
xfhaoym 发表于 2019-7-13 12:58
无理数的四则运算还是无理数。

√3 x √3 = 3
√3 / √3 = 1
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