|
本帖最后由 波斯猫猫 于 2019-7-26 12:18 编辑
实数 p,q 满足 q≤p^2/4 ,试问:(p,q) 为何值时,|p-1|+|q-1| 会取到最小值?
即:实数 x,y 满足 y≤(x^2)/4 ,试问:(x,y) 为何值时,|x-1|+|y-1| 会取到最小值?
显然,|x-1|+|y-1|的几何意义是点(x,y)与点(1,1)的横坐标之差的绝对值和纵坐标之差的绝对值的和,且点(1,1)在区域y≤(x^2)/4的上方,所以,所求的点(x,y)必在区域y≤(x^2)/4的边界y=(x^2)/4上,
所以,z=|x-1|+|y-1|=|x-1|+|(x^2)/4-1|=|x-1|+|(x+2)(x-2)|/4.
当x≥2时,函数z=x-1+(x+2)(x-2)/4=(x/2+1)^2 -3单调递增,最小值为1;
当1≤x<2时,函数z=x-1-(x+2)(x-2)/4=-(x/2-1)^2 +1单调递增,且当x=1(y=1/4)时,最小值为3/4;
当-2≤x<1时,函数z=1-x-(x+2)(x-2)/4=-(x/2+1)^2 +3单调递减,且无最小值;
当x<-2时,函数z=1-x+(x+2)(x-2)/4=(x/2-1)^2 -1单调递减,且无最小值为。
综上,所求(x,y) =(1,1/4) . |
|