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求下列极限的值 lim(x→1)∑(n=1,∞)nx^(n+1)

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发表于 2019-8-12 00:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-8-12 08:08 编辑

求下列极限的值
1.jpg
 楼主| 发表于 2019-8-12 00:36 | 显示全部楼层
又或者这样表达更帖切
00.jpg
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发表于 2019-8-12 07:44 | 显示全部楼层
Image7.png
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发表于 2019-8-13 20:43 | 显示全部楼层
极限的的保号性及极限与有限和的可交换性是楼上解法的关键.
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 楼主| 发表于 2019-8-13 22:03 | 显示全部楼层

当x=1时,不是常说原级数=1+2+3+……=-1/12,请问你为什么等于正无穷大。
结合主帖谈谈相关方面的问题,请给出必要分析过程
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发表于 2019-8-13 22:37 | 显示全部楼层
永远 发表于 2019-8-13 07:03
当x=1时,不是常说原级数=1+2+3+……=-1/12,请问你为什么等于正无穷大。
结合主帖谈谈相关方面的问题, ...

凡事要真正理解, 不要道听途说什么 -1/12 啦什么的.

原级数 x^2+2x^3+...+ nx^(n+1)+.... > x^2+...+kx^(k+1)
两边令 x 趋于1 得 lim_{x→1-) ∑ nx^(n+1) ≥ 1+...+k = k(k+1)/2
由 k 的任意性就得所论极限为 ∞.

对这么简单明确的东西持怀疑态度, 表明你平时只注重技巧不注重概念和定义.

点评

这是一个小细节问题,我问的就是概念问题  发表于 2019-8-13 22:44
感觉e老师没说对点子上,不是太了解。谢谢  发表于 2019-8-13 22:41
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发表于 2019-8-13 23:06 | 显示全部楼层
请参看我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:

“你真的相信全体自然数的和等于 -1/12 吗?”


www.mathchina.com/bbs/forum.php? ... t=12%2B%C2%F0%A3%BF
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 楼主| 发表于 2019-8-13 23:18 | 显示全部楼层
看到一个漂亮而简洁的回答
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发表于 2019-8-13 23:30 | 显示全部楼层
感觉e老师没说对点子上,不是太了解


"点子"没有明确的数学意义, 这么说话反映的是一知半解的思想习惯.
∑nx^{n+1) 是其部分和所成的增序列的极限, x^2+2x^3+...+kx^{k+1} 是其部分和,所以就有
∑nx^{n+1) > x^2+2x^3+...+kx^{k+1}
两边作为 x 的函数取极限, 由极限的保序性就有
lim_{x→1-) ∑nx^{n+1) ≥ 1+...+k = k(k+1)/2 对任意正整数 k 成立, 所以 lim_{x→1-) ∑nx^{n+1) =∞

如果要问在黎曼猜想语境下主贴的极限是什么的问题, 主贴需要特别澄清.

点评

以前在分析类似问题时,我突然想到的,感觉有点矛盾,各说各有理,所以帖出来问一问  发表于 2019-8-13 23:34
我确实是一知半解,糊涂。所以来问  发表于 2019-8-13 23:32
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