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用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成 17 位数,每个数码最多用 9 次,这样的 17 位数有几个?

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发表于 2019-8-12 19:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-8-12 20:09 编辑

用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数码,每个数码最多用 9 次,这样的17位数,可以有多少个?
 楼主| 发表于 2019-8-15 18:08 | 显示全部楼层
用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成 17 位数,每个数码最多用 9 次,这样的 17 位数有 16676783516445624 个。

《数学研发》再见蒲公英 网友给出这样的解法:

17! *(1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/5! + x^6/6! + x^7/7! + x^8/8! + x^9/9!)^9

答案是对的,但我不知道为什么可以这样?


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发表于 2019-8-16 07:20 | 显示全部楼层
我知道为什么. 这是母函数方法.这9个括弧的乘积的展开中每一个次数为17的项的系数具有形式

17!/((n1)!(n2)!....(n9(!),   n1+n2+...+n9 = 17

这可以解读为 n1 个 1, n2 个 2, ..., n9 个 9 的排列数.
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发表于 2019-8-16 23:34 | 显示全部楼层
Image1.png
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 楼主| 发表于 2019-8-17 05:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-8-17 06:30 编辑


谢谢 elim!改一下,还可以有吗?
用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成 17 位数,
数码 1 最多用 1 次,数码 2 最多用 2 次,数码 3 最多用 3 次,
数码 4 最多用 4 次,数码 5 最多用 5 次,数码 6 最多用 6 次,
数码 7 最多用 7 次,数码 8 最多用 8 次,数码 9 最多用 9 次,
这样的 17 位数有几个?

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数码8最多用8次  发表于 2019-8-17 05:58
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发表于 2019-8-17 05:52 | 显示全部楼层
看你能不能举一反三:

Image.png

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谢谢 elim!!!茅塞顿开!!!  发表于 2019-8-17 06:20
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发表于 2019-8-17 05:53 | 显示全部楼层
楼上第二行是 f 的17阶导函数在 x = 0 的值.

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就算用软件算也很麻烦,光输入都待一会,请问e老师是怎么算的  发表于 2019-8-17 23:45
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发表于 2019-8-17 06:58 | 显示全部楼层
很多数学思想(不是数学公式) 美得不得了!
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发表于 2019-8-17 23:16 | 显示全部楼层
@永远,6楼的17阶导函数在x=0的值,有简易的算法吗?

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手算太麻烦,还是用软件算,省事  发表于 2019-8-17 23:38
我之前做题时遇到类似的,对于那个连积式展开来,然后貌似用柯西矩阵  发表于 2019-8-17 23:37
关于那个高阶导数我早看到了,我看了一眼就纳闷啦,老师你是不是用软件算的,图省事  发表于 2019-8-17 23:30
关于爬楼梯问题,我最近几天无暇思考啊,主要是去陆老师论坛学习去啦  发表于 2019-8-17 23:27
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发表于 2019-8-17 23:32 | 显示全部楼层
我正在思考这个问题,e老师恰巧问了,奇迹啦
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