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本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-19 22:04 编辑
题 求下列方程的正整数解:1/x^2+249/(xy)+1/y^2=1/2012 。
解 2012 可作质因子分解:2012 = 2^2×503 。
由此可以看出,本题方程要有正整数解,x,y 至少有一个必须是 503 的倍数。
设 y = 503 ,代入方程得 1/x^2+249/(503x)+1/503^2=1/2012 ,整理后得
499x^2-500988x-1012036 = (x-1006)(499x+1006) = 0 。
可解得 x = 1006 ,x = -1006/499 。
其中 x = -1006/499<0 不合题意,应舍去,只有 x = 1006 。
可见,本题有一组正整数解: x = 1006 , y = 503 。
由于方程中 x,y 地位对称,所以还有一组正整数解:x = 503 ,y = 1006 。 |
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