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求下列方程的正整数解:1/x^2+249/(xy)+1/y^2=1/2012

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发表于 2019-9-19 19:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-19 20:00 编辑

求正整数解

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发表于 2019-9-19 21:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-19 22:04 编辑

  求下列方程的正整数解:1/x^2+249/(xy)+1/y^2=1/2012 。

  2012 可作质因子分解:2012 = 2^2×503 。

    由此可以看出,本题方程要有正整数解,x,y 至少有一个必须是 503 的倍数。

    设 y = 503 ,代入方程得 1/x^2+249/(503x)+1/503^2=1/2012 ,整理后得

         499x^2-500988x-1012036 = (x-1006)(499x+1006) = 0 。

    可解得        x = 1006 ,x = -1006/499 。

    其中 x = -1006/499<0 不合题意,应舍去,只有 x = 1006 。

    可见,本题有一组正整数解: x = 1006 , y = 503 。

    由于方程中 x,y 地位对称,所以还有一组正整数解:x = 503 ,y = 1006 。

点评

謝謝陸老師  发表于 2019-9-21 21:55
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 楼主| 发表于 2019-9-19 22:09 | 显示全部楼层
谢谢陆老师的解答 已收藏!
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发表于 2019-9-20 08:41 | 显示全部楼层
waln2008 发表于 2019-9-19 22:09
谢谢陆老师的解答 已收藏!

1/2012=1/(503×4)=503/(503×503×4)=(4+249×2+1)/(503×503×4)
=4/(503×503×4)+(249×2)/(503×503×4)+1/(503×503×4)
=1/(503×503)+249/(503×503×2)+1/(503×503×4)
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发表于 2019-9-20 10:48 | 显示全部楼层
楼上 王守恩 的解答也很好!已收藏。
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