已知前 m 个正奇数之和比前 n 个正偶数之和大 2020 ，求所有可能的 n 之和

wintex

請問代數

luyuanhong

题  已知前 m 个正奇数之和比前 n 个正偶数之和大 2020 ，求所有可能的 n 之和。

解  前 m 个正奇数之和为 m^2 ，前 n 个正偶数之和为 n(n+1) ，根据已知条件有

   m^2 - n(n+1) = 2020 ，4m^2 - 4n(n+1) = 8080 ，4m^2 - (4n^2+4n+1) = 8079 ,

            (2m)^2-(2n+1)^2 = 8079 ，(2m+2n+1)(2m-2n-1) = 8079 。

    对 8079 作质因数分解，得到 8079 = 3×2693 。

    由此可见，两个正整数相乘，要等于 8079 ，只可能是下列两种情形：

（一）2m+2n+1 = 2693 ，2m-2n-1 = 3 。

    这时可解得 m = 674 ，n = 672 。

（二）2m+2n+1 = 8079 ，2m-2n-1 = 1 。

    这时可解得  m = 2020 ，n = 2019 。

    因此，所有可能的 n 之和为 672 + 2019 = 2691 。

wintex

luyuanhong 发表于 2020-3-28 08:24
题  已知前 m 个正奇数之和比前 n 个正偶数之和大 2020 ，求所有可能的 n 之和。

解  前 m 个正奇数之和 ...

請問老師
m 个正奇数之和为 m^2 ，前 n 个正偶数之和为 n(n+1)  這個假設是為何？謝謝。

luyuanhong

wintex 发表于 2020-3-28 08:32
請問老師
m 个正奇数之和为 m^2 ，前 n 个正偶数之和为 n(n+1)  這個假設是為何？謝謝。

luyuanhong

题  已知前 m 个正奇数之和比前 n 个正偶数之和大 2032 ，求所有可能的 n 之和。

解  前 m 个正奇数之和为 m^2 ，前 n 个正偶数之和为 n(n+1) ，根据已知条件有

   m^2 - n(n+1) = 2032 ，4m^2 - 4n(n+1) = 8128 ，4m^2 - (4n^2+4n+1) = 8127 ,

            (2m)^2-(2n+1)^2 = 8127 ，(2m+2n+1)(2m-2n-1) = 8127 。

    对 8127 作质因数分解，得到 8127 = 3^3×7×43 。

    由此可见，两个正整数相乘，要等于 8127 ，只可能是下列八种情形：

（一）2m+2n+1 = 8127 ，2m-2n-1 = 1 。

    这时可解得 m = 2032 ，n = 2031 。

（二）2m+2n+1 = 2709 ，2m-2n-1 = 3 。

    这时可解得 m = 678 ，n = 676 。

（三）2m+2n+1 = 1161 ，2m-2n-1 = 7 。

    这时可解得 m = 292 ，n = 288 。

（四）2m+2n+1 = 903 ，2m-2n-1 = 9 。

    这时可解得 m = 228 ，n = 223 。

（五）2m+2n+1 = 387 ，2m-2n-1 = 21 。

    这时可解得 m = 102 ，n = 91 。

（六）2m+2n+1 = 301 ，2m-2n-1 = 27 。

    这时可解得 m = 82 ，n = 68 。

（七）2m+2n+1 = 189 ，2m-2n-1 = 43 。

    这时可解得 m = 58 ，n = 36 。

（八）2m+2n+1 = 129 ，2m-2n-1 = 63 。

    这时可解得 m = 48 ，n = 16 。

    因此，所有可能的 n 之和为 2031+676+288+223+91+68+36+16 = 3429 。