在 ΔABC 中，已知 tanA=1，tanB=2，ha,hb,hc 是 a,b,c 边上的高，求 abc/(ha hb hc)

wintex

在 ΔABC 中，已知 tanA=1，tanB=2，ha,hb,hc 是 a,b,c 边上的高，求 abc/(ha hb hc)

波斯猫猫

在 ΔABC 中，已知 tanA=1，tanB=2，ha,hb,hc 是 a,b,c 边上的高，求 abc/(ha hb hc)

提示：在 ΔABC 中，设CD⊥AB于D，且hc=2r，则由条件 tanA=1，tanB=2，有AD=2r,DB=r. ΔABC的面积为3r＾2.由此有a=√5r,b=2√2r,c=3r,进而hb=3r/(√2),hc= 3r/(6√5)。所以， abc/(ha hb hc=5/3.



在 ΔABC 中，已知 tanB=tanC，此时为等腰三角形，ΔABC的面积2S=a＾2sinA,当 s有最大面积时，sinA=1,即A=90°，也就是tanA不存在。

luyuanhong

波斯猫猫

设腰上中线为a,腰的一半为x，底为y，易算得x＾2=a＾2/〔1+8sin＾2(A/2)〕,    y＾2=16a＾2sin(A/2)/〔1+8sin＾2(A/2)〕。故s=xycos(A/2)=2a＾2sinA/〔1+8sin＾2(A/2)〕。再对S求导并令：s′=0，解得cosA=4/5,从而sinA=3/5。

luyuanhong

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