浅谈《几何原本》中的比例论

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浅谈《几何原本》中的比例论

作者 | 刘瑞祥

众所周知，由于毕达哥拉斯学派发现了“不可公度量”（无理数），所以这个学派的信条——万物皆数——破产了，并且引发了第一次数学危机。这一危机最开始的表现就是，原来以为逻辑上完备的证明（比如说等高三角形的面积比等于底的比）变得不完备了。古希腊数学家欧多克斯建立了新的比例论，一方面挽救了古希腊数学，另一方面造成了古希腊重几何轻算术的倾向。直到现代实数理论建立以后，才彻底解决了无理数的问题。《几何原本》吸收了欧多克斯比例论的内容，并将其完善成一个得力的工具，下面简单谈谈比例论在《几何原本》中的作用。

一、关于比例的定义

1、第五卷定义5：有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比，如果对第一与第三个量取任何同倍数，又对第二与第四个量取任何同倍数，而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系，那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。

（这就是欧多克斯所给出的比例定义，用现代话来说就是：设 a、b 是同类的两个量，c、d 也是同类的两个量，对任何的整数 m 与 n，若三个关系式 ma>nb 或 ma=nb 或 ma<nb 之一成立时，必有 mc>nd 或 mc=nd 或 mc<nd 中对应的那个成立，则说 a 比 b 与 c 比 d 有相同的比。即四个量成比例，称为 a 比 b 如同 c 比 d 。）

2、第七卷定义20：当第一数是第二数的某倍、某一部分或某几部分，与第三数是第四的同一倍、同一部分或相同的几部分，称这四个数是成比例的。

（例如有四个数 8、4、6、3 ，其中 8 是 4 的二倍，6 是 3 的二倍，则这四个数成比例，记作 8/4=6/3 ， 或 8:4=6:3 ；又有四个数 2、6、3、9 ，其中2是6的三分之一，3 是 9 的三分之一，记作 2/6=3/9 ，或 2:6=3:9 ；又设四个数 4、6、20、30 ，4 是 6 的三分之二，20 是 30 的三分之二，记作 4/6=20/30 ，或 4:6=20:30 。）

以上两个定义在正整数的范围内是一致的，欧几里得在第十卷证明了这一点：

第十卷命题5：两个可公度量的比如同一个数比一个数。

第十卷命题6：若两个量的比如同一个数比一个数，则这两个量将是可公度的。

在第五卷里《原本》给出了更比、反比、合比、分比、首末比、二次比、三次比等定义，然后分别证明了这些比例是成立的。

二、比例的作用

比例论在《几何原本》里主要有四方面的作用，下面分别举例说明：

1、实现等式的恒等变形

主要依据如下：

第五卷命题4：如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比，取第一量与第三量的任意同倍量，又取第二量与第四量的任意同倍量，则按顺序它们仍有相同的比。

第五卷命题5：如果第一量是第二量倍量，而且第一个量减去的部分是第二个部分减去的部分的倍量，其倍数相等。则剩余部分是剩余部分的倍量，整体是整体的倍量，其倍数相等。

第五卷命题6：如果两个量是另外两个量的同倍量，而且由前二量中减去后两个量的任何同倍量，则剩余的两个量或者与后两个量相等，或者是它们的同倍量。

第五卷命题12：如果有任意多个量成比例，则其中一个前项比相应的后项如同所有前项的和比所有后项的和。

第五卷命题16：如果四个量成比例，则它们的更比例也成立。

第五卷命题17：如果几个量成合比例，则它们也成分比例。

第五卷命题18：如果几个量成分比例，则它们也成合比例。

第五卷命题19：如果整体比整体如同减去的部分比减去的部分，则剩余部分比剩余部分如同整体比整体。

第五卷命题22：如果有任意多个量，又有个数与它们相同的一些量，各组每取两个相应的量都有相同的比，则它们成首末比例。

第五卷命题23：如果有三个量，又有个数与它们个数相同的三个量，在各组每取两个相应的量都有相同的比，它们组成波动比例，则它们也成首末比例。

第五卷命题24：如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比，且第五量比第二量与第六量有相同的比。则第一量与第五量的和比第二量，第三量与第四量的和比第四量有相同的比。

我们以下面的命题作为代表：

第七卷命题9：如果一个数是另一个数的一部分，而另一个数是另一个数的同样的一部分，则取更比后，无论第一个是第三个的怎样的几部分或一部分，那么第二个也是第四个同样的几部分或一部分。

2、利用比的传递性得到新的等式

利用到比例的命题，大多数用到了这种方法，具体依据如下，特别是下面的第三个命题：

第五卷命题7：相等的量比同一个量，其比相同；同一个量比相等的量，其比相同。

第五卷命题9：几个量与同一个量的比相同，则这些量彼此相等；且同一个量与几个量的比相同，则这些量相等。

第五卷命题11：凡与同一个比相同的比，它们也彼此相同。

下面的命题明显用到了比的传递性：

第六卷命题21：与同一直线形相似的图形，它们彼此也相似。

第十一卷命题17：如果两直线被平行平面所截，则截得的线段有相同的比。

3、实现“线”和“面”的量的关系的转化

第六卷命题1：等高的三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比。

第六卷命题2：如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。

第六卷命题14：在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边成互逆比例；在等角平行四边形中，若夹等角的边成互反比例，则它们相等。

第六卷命题16：如果四条线段成比例，则两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形；并且如果两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形，则四条线段成比例。

第六卷命题19：相似三角形互比如同其对应边的二次比。

第六卷命题23：角各相等的平行四边形相比如同它们边的比的复比。

4、为穷竭法提供支持

穷竭法的理论依据是：给出两个不相等的量，若从较大的量中减去一个大于它的一半的量，再从所得的余量中减去大于这个余量一半的量，并且连续这样进行下去，则必得一个余量小于较小的量。

穷竭法是《原本》中重要的理论支柱，但这里提到“从较大的量中减去一个大于它的一半的量”，怎么保证所减去的量比大量的一半还大呢？就需要以下的命题：

第五卷命题8：有不相等的二量与同一量相比，较大的量比这个量大于较小的量比这个量，反之，这个量比较小的量大于这个量比较小的量。

当然，比例论在《原本》里还用来证明不等量的关系和体积问题，不过这和前面所讲的应用类似，就不专门说了。