数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 8283|回复: 17

(4k+1)*A^2 - B^2 = ±1 的通项公式

[复制链接]
发表于 2020-7-2 08:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-7-10 10:58 编辑

(4k+1)*A^2 - B^2 = ±1 和 (8k+2)*A^2 - B^2 = ±1

存在通项公式的条件:

4k+1 或 8k+2 的(奇数)素因子均具有 4d+1 的形式。


A031396                Numbers k such that Pell equation x^2 - k*y^2 = -1 is soluble.        

2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97,

101, 106, 109, 113, 122, 125, 130, 137, 145, 149, 157, 170, 173, 181, 185, 193, 197,

202, 218, 226, 229, 233, 241, 250, 257, 265, 269, 274, 277, 281, 290, 293, 298 , ...


A031397 数据 无4k+3 的素因子,此方程 存在 正整数解,

A031397                Nonsquarefree n such that Pell equation x^2 - n y^2 = -1 is soluble.               

50, 125, 250, 325, 338, 425, 845, 925, 1025, 1250, 1325, 1445, 1450, 1525, 1625, 1682, 1825, 1850,

2050, 2125, 2197, 2425, 2725, 2738, 2825, 2873, 2890, 3050, 3125, 3250, 3425, 3625, 3725, 3925,

4250, 4325, 4394, 4625, 4825, 4901, 4913 , ...


A031398 数据 无4k+3 的素因子,但方程 不存在 正整数解,

A031398                Squarefree n with no 4k+3 factors such that Pell equation x^2 - n y^2 = -1 is insoluble.               

34, 146, 178, 194, 205, 221, 305, 377, 386, 410, 466, 482, 505, 514, 545, 562, 674, 689,

706, 745, 793, 802, 866, 890, 898, 905, 1154, 1186, 1202, 1205, 1234, 1282, 1345, 1346,

1394, 1405, 1469, 1513, 1517, 1537, 1538, 1717, 1762, 1802, 1858 , ...


5*A^2 - B^2 = ±1 的递推公式

A0=0, A1=1, A2=4, A(n+1)=4*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=2, B2=7,  B(n+1)=4*Bn + B(n-1) .

则  lim(n→∞)  Bn/An = √5 .



求 y^2=(4n+1)*x^2 -1 的最小解之特例

若 素数4n+1=(2t+1)^2+4,

则 x=2n - 1, y=2n*(2t+1) .
 楼主| 发表于 2020-7-3 07:13 | 显示全部楼层
(4k+1)*A^2 - B^2 = ±1 和 (8k+2)*A^2 - B^2 = ±1

存在通项公式的条件:

4k+1 或 8k+2 的(奇数)素因子均具有 4d+1 的形式。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-7-3 17:27 | 显示全部楼层
53*A^2 - B^2 = ±1 的递推公式

A0=0, A1=25, A2=9100, A(n+1)=364*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=182, B2=66249,  B(n+1)=364*Bn + B(n-1) .

则  lim(n→∞)  Bn/An = √53 .
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-7-3 17:30 | 显示全部楼层
61*A^2 - B^2 = ±1 的递推公式

A0=0, A1=3805, A2=226153980, A(n+1)=59436*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=29718, B2=1766319049, B(n+1)=59436*Bn + B(n-1) .

则  lim(n→∞)  Bn/An = √61 .
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-7-3 17:53 | 显示全部楼层
73*A^2 - B^2 = ±1 的递推公式

A0=0, A1=125, A2=267000, A(n+1)=2136*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=1068, B2=2281249, B(n+1)=2136*Bn + B(n-1) .

则  lim(n→∞)  Bn/An = √73 .
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-7-3 18:00 | 显示全部楼层
97*A^2 - B^2 = ±1 的递推公式

A0=0, A1=569, A2=6377352, A(n+1)=11208*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=5604, B2=62809633, B(n+1)=11208*Bn + B(n-1) .

则  lim(n→∞)  Bn/An = √97 .
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-7-3 20:27 | 显示全部楼层
朱明君先生的完全数公式是2000年前的欧几里德公式。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-7-4 17:51 | 显示全部楼层
求 y^2=109*x^2 -1 的最小解

1-----( x=851525,  y=8890182 )
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-7-10 19:45 | 显示全部楼层

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-7-13 13:30 | 显示全部楼层
非常感谢蔡老师!
请老师再帮我检验:《此题答案太复杂,其解法有难度》。
解不定方程:
A^347+B^349+ C^353 =D^359+E^367
特点是各个幂指数是五生素数。
此不定方程的等号左边有三项,右边有两项。
答案是:
A=(a+b)^(16231574341k+2034598455)*a^(16231574341k+935537426)*b^(16231574341k+4138361730)*(4ab)^(16231574341k+5534548271)*(2ab)^(16231574341k-973009906)
B=(a+b)^(16138556723k+2022938865)*a^(16138556723k+930176180)*b^(16138556723k+4114646190)*(4ab)^(16138556723k+5502831662)*(2ab)^(16138556723k-967433918)
C=(a+b)^(15955683559k+2000016045)*a^(15955683559k+919635940)*b^(15955683559k+4068021304)*(4ab)^(15955683559k+5440476629)*(2ab)^(15955683559k-956471494)
D=(a+b)^(15689014753k+1966589593)*a^(15689014753k+904265980)*b^(15689014753k+4000032090)*(4ab)^(15689014753k+5349549443)*(2ab)^(15689014753k-940485898)
E=(a+b)^(15347019881k+1923721155)*a^(15347019881k+884554460)*b^(15347019881k+3912837930)*(4ab)^(15347019881k+5232938011)*(2ab)^(15347019881k-919984843)
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 05:47 , Processed in 0.061523 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表