傅里叶级数有什么用？怎么用？

wufaxian

先说说我对傅里叶级数的理解，再提出问题。一来可以使老师看看我的理解是否有误，二来可以使老师针对我的理解水平更有针对性的给予帮助和指导。

对傅里叶级数理解。从陌生到见怪不怪。过去上学水过的，现在重新自学。用的是托马斯微积分。级数可以表示一个函数。级数有泰勒级数，麦克劳林级数，幂级数，三角级数，傅里叶级数。以上有些使特例，有些是包含关系。共同特点是可以将一个函数f(x)写成（展开）n项x函数累加的形式。

傅里叶级数作为三角级数的一种。能用以下规定的形式来表示函数f(x)，只能说是本分。和其他级数相比也并没有独特之处。别的函数也可以表示一个函数（站在展开公式的角度看），或者在特定区间拟合函数f(x)（从函数图像的角度看），收敛的级数，与之对应的多项式n项越多拟合效果越好，余项越小，误差越小。


a0是关于f(x) 积分构造的。an，bn也是函数f(x)构造的。某种程度上上面的函数是用f(x)来表示f(x)。当然右侧掺入了三角函数。看起来an，bn决定了一些列累加三角函数的幅度，T决定了三角函数的频率。

我现在接触到“级数”解决问题基本都在数学领域。例如求解微分方程。求解特定函数的极限（用级数展开，会看到不一样的世界）。求函数的数值解，比线性解更精确。我也知道这些就是计算机求解特定三角函数数值解的方法。仅仅知道这些。没了

问题：既然众多不同形式的级数都可以表示特定函数f(x)。都可以对f(x)做展开。为什么傅里叶级数这么受重视？难道就是因为它可以从函数时域提取出频域信息么？

还有说傅里叶变换解决了傅里叶级数只能处理周期函数的限制。将非周期函数看成周期是oo的周期函数。感觉这是在玩文字游戏。

那么我说一段话，这个应该可以形成一段时域函数吧，可是谁知道这个函数的f(x)的一般表达式呢？如果不知道其函数表达式，那怎么对其进行傅里叶级数展开，又如何能求得其频谱呢？

各位老师可否举一些傅里叶级数在信号处理、数据分析、线性代数、概率或统计学领域的应用例子？越简单越好。这样可以从使用的角度对傅里叶级数有更深刻的理解和认识。如果可以的化举例先不用傅里叶级数的复数形式。复数和傅里叶级数之间暂时还没打通。就用上面哪个“标准单脚函数公式”吧