数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: xfhaoym

求极限 lim(n→∞){sin[π√(n^2+n)]}^2

[复制链接]
发表于 2020-10-14 04:32 | 显示全部楼层
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(n+\sqrt{n^2+n}-n))=\)
\(\sin^2(\pi(n+{\large\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}))=\sin^2{\large\frac{n\pi}{n+\sqrt{n^2+n}}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\sin^2\frac{\pi}{2}=1\)

点评

√(n^2+n) 造价于 n,很好的说明n必须趋于正无穷大,n不能趋于负无穷大  发表于 2020-10-16 23:26
软件算的是0到1之间徘徊,怎么解释啊  发表于 2020-10-14 18:20
推导结果错了。n→∞时,√(n^2+n) 趋于 n,不是趋于 1/2。  发表于 2020-10-14 08:44
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-14 05:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-10-14 05:16 编辑
elim 发表于 2020-10-14 04:32
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(n+\sqrt{n^2+n}-n))=\)
\(\sin^2(\pi(n+{\large\frac{n}{\sqrt{n^2 ...




本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-14 18:19 | 显示全部楼层
elim 发表于 2020-10-14 04:32
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(n+\sqrt{n^2+n}-n))=\)
\(\sin^2(\pi(n+{\large\frac{n}{\sqrt{n^2 ...

e老师请注意红圈部分

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-14 20:48 | 显示全部楼层
红圈部分没有错, 我的 \(\frac{n\pi}{n+\sqrt{n^2+n}}\to \frac{\pi}{2}\) 也没错.
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

发表于 2020-10-15 12:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-15 13:02 编辑

\(\displaystyle\lim_{n→∞}\sin^2\big(\pi\sqrt{n^2+n}\ \big)=1\)

\(\displaystyle\lim_{n→∞}\sin^2\big(\pi\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2+n}\ \big)=0\)
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-15 23:54 | 显示全部楼层
原问题可以这样解:  \(\because\;\;\sin^2(n\pi+\theta)=\sin^2\theta\),
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(\sqrt{n^2+n}-n))\)
\(=\sin^2{\large\frac{n\pi}{n+\sqrt{n^2+n}}}=\sin^2{\large\frac{\pi}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\sin^2{\large\frac{\pi}{2}}\)

天山草老师的 \(\sqrt{n^2+n}\to n\) 应该改成 \(\sqrt{n^2+n}\sim n\)

点评

完全正确!  发表于 2020-10-16 20:36
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-16 23:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-10-18 20:32 编辑
elim 发表于 2020-10-15 23:54
原问题可以这样解:  \(\because\;\;\sin^2(n\pi+\theta)=\sin^2\theta\),
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin ...


继续分析天山草老师的:当n→+∞时, \(\sqrt{n^2+n}\to n\) 应该改成 \(\sqrt{n^2+n}\sim n\) 这句话是对的,然后接下来的分析也完全顺理成章,没毛病

不过,若当n→-∞时,分析会自相矛盾或者说题目有瑕疵,如果按照这样的分析的话,题目的趋于无穷大就默认是趋于正无穷大,这很好的回答了5楼波斯猫猫

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-16 23:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-10-18 20:33 编辑

事实上原题目,从图像上观察:当n→+∞时,{sin[π√(n^2+n)]}^2的值在0到1之间来回振荡,见图片1。

但是它等价的{sin[π√(n^2+n)-nπ]}^2确是当n→+∞时,结果趋于1,见图片2







好矛盾啊!我要是上过大学数学就不会问这么个问题。我想这其中的奥秘只有陆教授能说的清楚,也罢,算了

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-17 01:23 | 显示全部楼层
\(n\to\infty\) 约定俗成指的就是 \(\mathbb{N}\ni n\to +\infty.\)

研究它可能是别的意思, 例如复数, 无理数等等, 说好听点叫迂腐, 说难听点叫无聊.
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-10-17 01:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-10-17 01:52 编辑
elim 发表于 2020-10-17 01:23
\(n\to\infty\) 约定俗成指的就是 \(\mathbb{N}\ni n\to +\infty.\)

研究它可能是别的意思, 例如复数,  ...


看看18楼的图片一,怎么解释矛盾
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 04:33 , Processed in 0.061523 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表