叉积的定义到底是一个人为假设的模型？还是有现实依据的结论？

wufaxian

比如说1+1=2。那么你把一个小木棍和另一个小木棍放一起，确实就是2个小木棍（十进制下）。那么乘法。就是加法的一种简化或延伸。同样容易证明。但是向量的叉乘呢？AxB=|A||B||sinθ|*n，n是正交于AB平面的基向量。难道这是一种马走日象走田的认为规定么？而且你用定义是无法计算叉积的。因为在不知道计算结果以前你很难求出n是多少。

当我看到下图的时候，我以为已经看到了叉积定义成立的现实依据了。但是其中有个逻辑断层！


看到了乘法分配律一切豁然开朗了。你按照这个一步一步算下去。最后用行列式求出一个向量C，然后你在三维坐标中描点，发现他确实垂直于AB张成的平面。或者你用点乘A，或点乘B也可以验证垂直。而且你求C的模。也确实等于|A||B|sinθ。这就如同那么你把一个小木棍和另一个小木棍放一起，确实就是2个小木棍一样可靠！！！

但是其中有一点。就是截图中的红线的部分。将分配律结果中凡是包含ii，jj，kk的都看作零。我想是因为ii夹角θ的正弦值等于0。所以这三项结果为0。但是这实际上又使用了叉积的定义。类似于马走日象走田。如果我不承认马走日象走田（国际象棋就不是马走日象走田），那么ii，jj，kk的都不能看作零了。那整个结果也被推翻了。


------------所以应该怎么理解叉积呢？或者说从最基础的知识证明叉积定义是成立的？
------------叉积到底是属于线性代数的范畴？还是属于微积分的范畴？我现在是从一本微积分的书上学到的叉积。但是反过来在很多线性代数的书目录中都找不到叉积。有些线性代数的书中是有叉积的。所以叉积不必定属于线性代数的内容？