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已知 x^2+y^2+z^2=8 ,求 z^2yx/[6(z+y)] 的最大值

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发表于 2020-11-16 12:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知x^2+y^2+z^2=8.求z^2yx/[6(z+y)]最大值
发表于 2020-11-16 16:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 Ysu2008 于 2020-11-16 16:31 编辑

max ≈ 0.4020112428
     x ≈ 1.6329931692
     y ≈ 1.2684812310
     z ≈ 1.9298416193

MonteCarlo 求解的,看看对不对。耗时50几秒。

点评

正确。 用 mathematica 求解, 一瞬间就得到结果。  发表于 2020-12-1 11:07
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发表于 2020-11-18 17:08 | 显示全部楼层
思路:x^2+y^2+z^2=8,作三角代换,令x=2√2cosα,y=2√2sinαsinθ,z=2√2sinαcosθ,代入z^2yx/[6(z+y)]中,然后用导数方法求二元函数的最值。
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发表于 2020-11-18 18:56 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2020-11-18 17:08
思路:x^2+y^2+z^2=8,作三角代换,令x=2√2cosα,y=2√2sinαsinθ,z=2√2sinαcosθ,代入z^2yx/[6(z+y ...

请教这个怎么构造出来的啊? 需要很强基本功还是什么观察力?
我想不到.
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发表于 2020-11-18 20:39 | 显示全部楼层
球的普通方程:x^2+y^2+z^2=8,则其参数方程为x=2√2cosα,y=2√2sinαsinθ,z=2√2sinαcosθ。
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发表于 2020-11-24 20:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-25 07:52 编辑
波斯猫猫 发表于 2020-11-18 17:08
思路:x^2+y^2+z^2=8,作三角代换,令x=2√2cosα,y=2√2sinαsinθ,z=2√2sinαcosθ,代入z^2yx/[6(z+y ...

注意细微的变化。
1,\(\frac{ (2\sqrt{2}\sin a\cos b)^2 (2\sqrt{2}\sin a\sin b) (2\sqrt{2}\cos a)}{6 ((2\sqrt{2}\sin a\cos b) + (2\sqrt{2}\sin a\sin b))}\)
  {0.40201124282233713855030342291693648789046841660206,
  {a -> 0.95531661812450927816385708487515262936465341749404,
  b -> 0.58148860254440120647807101554242315841958652182643}}
2,\(\frac{ (2\sqrt{2}\sin a\cos b)^2(2\sqrt{2}\cos a) (2\sqrt{2}\sin a\sin b) }{6 ((2\sqrt{2}\sin a\cos b) +(2\sqrt{2}\cos a))}\)
  {0.40201124282233713855030342291693648789046841660206,
  {a -> 1.1057369826378616723244338029407119027077456909525,
  b -> 0.70227210649849740179860693342975907545924453789903}}
3,\(\frac{(2\sqrt{2}\sin a\sin b)^2 (2\sqrt{2}\sin a\cos b) (2\sqrt{2}\cos a)}{6 ((2\sqrt{2}\sin a\sin b)+(2\sqrt{2}\sin a\cos b))}\)
  {0.40201124282233713855030342291693648789046841660206,
  {a -> 0.95531661812450927816385708487516347024448153786494,
  b -> 0.98930772425049541275325064081614413470839764872828}}
4,\(\frac{(2\sqrt{2}\sin a\sin b)^2(2\sqrt{2}\cos a) (2\sqrt{2}\sin a\cos b) }{6 ((2\sqrt{2}\sin a\sin b)+(2\sqrt{2}\cos a))}\)
  {0.40201124282233713855030342291693648789046841660206,
  {a -> 1.1057369826378616723244338053476902674619862102089,
  b -> 0.86852422029639921743271472265283533474586185657861}}
5,\(\frac{(2\sqrt{2}\cos a)^2 (2\sqrt{2}\sin a\cos b) (2\sqrt{2}\sin a\sin b) }{6 ((2\sqrt{2}\cos a)+(2\sqrt{2}\sin a\cos b)) }\)
  {0.40201124282233713855030342291693648789046841660206,
  {a -> 0.81988942760397965704462305141995291011936386132784,
  b -> 0.91037331274155467237528431173968847846660170979552}}
6,\(\frac{(2\sqrt{2}\cos a)^2(2\sqrt{2}\sin a\sin b) (2\sqrt{2}\sin a\cos b) }{6 ((2\sqrt{2}\cos a)+(2\sqrt{2}\sin a\sin b))}\)
  {0.40201124282233713855030342291693648789046841660206,
  {a -> 0.81988942760397965704462305464210515144248486629826,
  b -> 0.66042301405334194685603734394673661321934973248023}}
爽2句。
分母缩小6倍,最大值扩大6倍;
\(分母缩小2\sqrt{2}倍,最大值扩大2\sqrt{2}倍\);
\(分子缩小2\sqrt{2}倍,最大值缩小2\sqrt{2}倍\);
分子缩小8倍,最大值缩小8倍。
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发表于 2020-11-30 19:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-30 19:30 编辑
波斯猫猫 发表于 2020-11-18 17:08
思路:x^2+y^2+z^2=8,作三角代换,令x=2√2cosα,y=2√2sinαsinθ,z=2√2sinαcosθ,代入z^2yx/[6(z+y ...

\(1=(\cos a)^2+(\sin a)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b\cos c)^2+(\sin a\sin b\sin c)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b\cos c)^2+(\sin a\sin b\sin c\cos d)^2+(\sin a\sin b\sin c\sin d)^2\)
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发表于 2020-12-1 11:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2020-12-1 11:29 编辑



这条指令是求极值,但是求出来的是最大值还是最小值不知道。

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发表于 2020-12-17 17:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-17 17:24 编辑
王守恩 发表于 2020-11-30 19:27
\(1=(\cos a)^2+(\sin a)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\ ...


\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b\cos c)^2+(\sin a\sin b\sin c)^2\)
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b\cos c)^2+(\sin a\sin b\sin c\cos d)^2+(\sin a\sin b\sin c\sin d)^2\)


NMaximize[{Cos[a] Sin[a]}, {a}]
{0.5, {a -> 0.785398}}
NMinimize[{Cos[a] Sin[a]}, {a}]
{-0.5, {a -> -0.785398}}
NMaximize[{Cos[a] Sin[a] Cos Sin}, {a, b}]
{0.25, {a -> 0.785398, b -> 0.785398}}
NMinimize[{Cos[a] Sin[a] Cos Sin}, {a, b}]
{-0.25, {a -> 0.785398, b -> -0.785398}}
NMaximize[{Cos[a] Sin[a] Cos Sin Cos[c] Sin[c] }, {a, b, c}]
{0.125, {a -> -0.785398, b -> 0.785398, c -> -0.785398}}
NMinimize[{Cos[a] Sin[a] Cos Sin Cos[c] Sin[c] }, {a, b, c}]
{-0.125, {a -> 2.35619, b -> -0.785398, c -> 2.35619}}
NMaximize[{Cos[a] Sin[a] Cos Sin Cos[c] Sin[c] Cos[d] Sin[d] }, {a, b, c, d}]
{0.0625, {a -> 0.785398, b -> 0.785398, c -> 0.785398, d -> 0.785398}}
NMinimize[{Cos[a] Sin[a] Cos Sin Cos[c] Sin[c] Cos[d] Sin[d] }, {a, b, c, d}]
{-0.0625, {a -> -0.785398, b -> -0.785398, c -> 0.785398, d -> -0.785398}}
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