求交错项组合级数之和 ∑(k=1,n)(-1)^k C(n,k)

中国上海市

求sig[(-1)∧k(Cn,k)]，其中k=1、2、3……n

luyuanhong

题  求交错项组合级数之和 ∑(k=1,n)(-1)^k C(n,k) 。

解  由二项展开公式可得

      ∑(k=0,n)(-1)^k C(n,k) = (1-1)^k = 0^k = 0 。

    所以，有

  ∑(k=1,n)(-1)^k C(n,k) = ∑(k=0,n)(-1)^k C(n,k) - (-1)^0 C(n,0)  = 0 - 1 = -1 。

例如：

当 n=1 时，有 ∑(k=1,1)(-1)^k C(1,k) = -C(1,1) = -1 。

当 n=2 时，有 ∑(k=1,2)(-1)^k C(2,k) = -C(2,1)+C(2,2) = -2+1 = -1 。

当 n=3 时，有 ∑(k=1,3)(-1)^k C(3,k) = -C(3,1)+C(3,2)-C(3,3) = -3+3-1 = -1 。

当 n=4 时，有 ∑(k=1,4)(-1)^k C(4,k) = -C(4,1)+C(4,2)-C(4,3)+C(4,4) = -4+6-4+1 = -1 。

当 n=5 时，有 ∑(k=1,5)(-1)^k C(5,k) = -C(5,1)+C(5,2)-C(5,3)+C(5,4)-C(5,5) = -5+10-10+5-1 = -1 。

中国上海市

这个答案和n的值并无关系，不管n取何值答案都是-1，对吗？

luyuanhong

中国上海市 发表于 2020-12-7 10:31
这个答案和n的值并无关系，不管n取何值答案都是-1，对吗？

对的。