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求无穷级数之和 ∑(n=1,∞)1/(1^2+2^2+…+n^2)

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发表于 2021-1-24 01:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:求和 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1^2+\cdots+n^2}\)
发表于 2021-1-24 03:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2021-1-24 03:13 编辑

这题貌似做过类似的
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 楼主| 发表于 2021-1-24 04:10 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2021-1-24 04:19 | 显示全部楼层
这种题目很可能过去见过,但几乎可以确定解题过程已经忘光。基本思想一般还是知道的。我解题就是靠点想法推演。学数学就是学怎么推演和思想。不是背收藏。
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 楼主| 发表于 2021-1-24 04:43 | 显示全部楼层
从答案看,我没有做过这个题目.  \(6(3-4\ln 2)\) 我一点印象都没有。
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发表于 2021-1-24 08:30 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
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发表于 2021-1-24 09:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-1-24 13:04 编辑

我还是喜欢简单一点的。

求和 \(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{1+2+\cdots+n}=\frac{2}{a}\)

求和 \(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{2+3+\cdots+n}=\frac{6a^2-2}{3a(a-1)(a+1)}\)

1,\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2}=6(3-4\ln2)\)
2,\(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2}\)
3,\(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{\sum_{k=1}^n k^3}\)
4,\(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{\sum_{k=1}^n k}=\frac{2}{a}\)
5,\(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{\sum_{k=2}^n k}=\frac{6a^2-2}{3a(a-1)(a+1)}\)
6,\(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{\sum_{k=3}^n k}\)
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 楼主| 发表于 2021-1-24 09:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2021-1-24 10:22 编辑
王守恩 发表于 2021-1-23 18:40
我还是喜欢简单一点的。

求和 \(\displaystyle\sum_{n=a}^\infty\frac{1}{1+2+\cdots+n}=\frac{2}{a}\)
...


楼上关于 \(a\) 的结果错了? 好像没错。不过...
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发表于 2021-1-24 15:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-1-24 15:42 编辑
elim 发表于 2021-1-24 09:57
楼上关于 \(a\) 的结果错了。


检查了,还是不知道错在那里?好像跟下面的题是一样的?
\(\frac{1}{2*3}+\frac{1}{5*6}+\frac{1}{9*10}+\frac{1}{14*15}+\frac{1}{20*21}+\frac{1}{27*28}+\frac{1}{35*36}+\frac{1}{44*45}+\frac{1}{54*55}+\cdots=\frac{2}{9}\)
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发表于 2021-1-24 16:59 | 显示全部楼层
楼上小学的裂项法……~~
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